CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURTN ET DE JACOB

définie ci-dessus. Pour rendre les résultats plus facilement comparables avec ceux relatifs aux ellipsoïdes de Jacobi, prenons la même variable s

La formule (55), qui représente les ellipsoïdes de Maclaurin, devient

(64) h = 0)2 = ,/;:(I~<~2*)arctang*~ 3 ^s(1~ Or

'17Zf? (1 s) \J I — s

Comnje la valeur de s reste comprise entre o et 1 , la courbe se trouve également limitée (fi g.- 20). Pour s — 1 , ce qui correspond

Fig. 20é

à / = o et à l’origine pour la courbe de la figure 17, on a h = o et le point A, cas de la sphère. Pour 5 = 0, c’est-à-dire l — 00, on a h = o et le point zéro, cas du disque aplati. Le maximum A0 — 0,2.24 a beo pour s — o, i35, point Z, cas limite. Pour une valeur H de A, on aura deux points m! et m" de la courbe, qui déterminent deux valeurs p' et p" de s et les deux aplatissements des deux ellipsoïdes de Maclaurin.

On peut représenter très clairement l’ensemble de ces résultats, pour les deux séries d’ellipsoïdes, au moyen d’un graphique analogue à celui de Poincaré ( Figures d'équilibre , p. i63). 11 suffit de reprendre la figure 18, projection horizontale de la courbe des ellipsoïdes de Jacobi. Les ellipsoïdes de Maclaurin y sont représentés par la bissectrice OS, ou s = £, qui est la projection sur le plan tO s de la courbe de la figure 20. Le point S représente le point A de la figure 20 pour s = t = 1 . La distance à l’origine des points correspondants sur OS est seulement multipliée par ^2, puisque OS

est ici la diagonale du carré dont le côté est OA — i, mais leur ordonnée donne la vraie valeur de s.

L’ellipsoïde d’axes a, b , c est donc représenté dans le plan tOs par le point R de coordonnée s et t ,

Ces coordonnées représentent l’inverse de la racine carrée du grand axe a et de l’axe moyen b} si l’on prend l’axe de rotation c comme unité.

Suivons les ellipsoïdes de Maclaurin d’abord à partir de la sphère (fig> 18). Le* point représentatif se déplace sur OS. Pour co = o, on a la sphère c — b = a et s = t = i . Elle est représentée par le point S. Si l’aplatissement augmente, î et ( diminuent : le point figuratif se rapproche de l’origine, sur la bissectrice, dans la direction SO. Suivons ensuite les ellipsoïdes de Maclaurin très aplatis : s et t voisins de zéro; pour co = o, point zéro. Si la vitesse augmente, l’aplatissement diminue et s augmente. Le point figuratif s’éloigne de zéro sur la bissectrice. Les deux points représentatifs se rencontrent au point D pour lequel onai = o, 1 3 5 , la valeur limite de h étant h0 = o, 224.

La courbe des ellipsoïdes de Jacobi se projette en ABC. Le point C représente l’ellipsoïde de bifurcation, qui est à la fois de Maclaurin et de Jacobi, ellipsoïde E. Si, à partir de la vitesse correspondant à t0, la vitesse de l’ellipsoïde de Jacobi diminue, l’aplatissement de sa section équatoriale augmente. Les valeurs de s et de t diffèrent de plus en plus. Le point figuratif décrit la courbe CB ou CA. A la limite, pour une aiguille allongée, 5 = 1 ou t = 1 , on a le point A ou le point B.

Cette représentation graphique des résultats sur le plan peut être complétée par sa représentation dans l’espace. Il suffit de prendre la cote h au-dessus du plan tOs représentée par la figure 18, ou encore de compléter la figure 19, qui représente les jacobiens, par la courbe de la figure 20, qui représente les maclaurins, et qui vient se placer dans le plan bissecteur de ^Os, en OE0ES ( fig . 21).

Les deux courbes AEB et OES décrites par le point figuratif dans l’espace fournissent alors une représentation graphique complète des résultats acquis pour ce problème. En particulier, la