CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

courbe plane dont la projection est la bissectrice de sOt, est analogue à la courbe étudiée dans le cas précédent (fig . 20), sans lui être identique, comme on l’a vu, l’unité choisie pour les abscisses n’étant pas la même et étant égale à celle de la figure 20 multipliée par \/~2.

Fig. 21.

11 j a deux points remarquables des courbes de l’espace : le point E, dont la projection est G, où EG = 0,187; et le point E0, dont la projection est D, où E0D == o, 224. La courbe décrite par le point représentatif des ellipsoïdes de Jacobi passe par E. De plus, quand s ou t tendent vers zéro, et par conséquent quand les aplatissements deviennent infinis, h tend vers zéro. Ainsi, la courbe de l’espace tend vers les points A ou B du plan horizontal pour h voisin de zéro.

Nous avons, dans cette étude des figures ellipsoïdales d’équilibre, un premier exemple de deux idées introduites par Poincaré :

i° Position d’équilibre de bifurcation. — Le point E représente une position d’équilibre de bifurcation car on peut y arriver en suivant deux chemins différents : par des ellipsoïdes de Maclaurin ou par des ellipsoïdes de Jacobi. On peut suivre pour cela deux séries linéaires de positions d’équilibre, c’est-à-dire deux courbes à un seul paramètre qui ont ce point commun.

Inversement, en partant de E, les ellipsoïdes d’équilibre infiniment voisins sont de deux sortes : il y en a deux de Maclaurin et un de Jacobi. On reconnaîtra, en traversant le point E, qu’on reste

dans la même série d’ellipsoïdes si les dérivées des axes restent continues.

2° Position (P équilibre limite. — Le point E0 représente une de ces positions. Quand on est arrivé en E0, si l’on continuait à faire croître co, la figure ellipsoïdale cesserait d’exister, la figure d’équilibre ne pourrait plus être un ellipsoïde.

23. Discussion en prenant le moment de rotation comme paramètre. — Nous appelons ainsi la somme des moments des quantités de mouvement p = Ico par rapport à l’axe de rotation. On peut considérer ce moment comme donné, au lieu de la vitesse de rotation. La place et Liouville expliquent que c’est là le véritable problème qui se pose en Mécanique céleste. Dans l’hypothèse de Laplace, en effet, la planète est à l’origine une masse gazeuse de grande étendue. Supposons-la soustraite aux actions extérieures : il s’y produit des mouvements internes, des courants plus ou moins réguliers. Alors, la somme des moments des quantités de mouvements prise par rapport à des axes passant par le centre de gravité de la masse est constante. Le moment cinétique p a une direction et une grandeur constantes. Le plan perpendiculaire à ce moment est le plan du maximum des aires.

Peu à peu, les mouvements internes se régularisent et s’égalisent par le frottement (ils ne sont pas encore rigoureusement égalisés pour le Soleil, Jupiter et Saturne). La masse gazeuse peut tendre alors à prendre un mouvement d’ensemble et à devenir une figure permanente en mouvement. Si nous faisons l’hypothèse, assez éloignée de la réalité, que la masse est homogène, le mouvement permanent sera nécessairement une rotation autour de l’axe Gp.

Ainsi on peut supposer qu’au bout d’un temps très long le corps tournera autour de l’axe Gp et la valeur de p n’aura pas changé. En choisissant p comme paramètre au lieu de ca, Laplace a fait les calculs dans le cas des ellipsoïdes de révolution et Liouville pour les ellipsoïdes de Jacobi ( Journal de Mathématiques , t. XVI).

Ellipsoïdes de Mac Laurin. — Nous avons alors

f=!Ma2 oi2 =. t* 2 = 25^ 1 , .

5 ’ 2 TC f P 2ïc/pla 4 M2a4 2 TC f P'