PROBLÈME. INDICATIONS HISTORIQUES

1. Problème. — Nous nous occuperons dans ce Volume du problème suivant qui s’est posé dès que fut découverte l’attraction universelle et dont Newton lui-même s’est occupé.

Une masse liquide homogène isolée dans l’espace, c’est-à-dire soustraite à toute action extérieure, peut-elle se mouvoir à la façon d’un corps solide de telle manière que ses particules restent à des distances mutuelles invariables? Si un mouvement de cette nature existe, quelle est la forme de la masse liquide ?

Plus généralement, un mouvement de ce genre est-il possible quand la masse liquide est soumise à une pression extérieure constante et quelle est alors la forme de la masse?

La réponse à la première partie de la question est facile. Le seul mouvement possible est celui dans lequel le centre de gravité prend un mouvement rectiligne uniforme, la masse "tournant avec une vitesse angulaire constante co autour d’un axe de direction fixe passant par le centre de gravité, axe qui constitue un axe principal d’inertie pour le liquide.

Quant à la seconde partie : détermination des formes possibles

APPELL. — IV

de la masse, elle est loin d’être résolue. Les plus grands géomètres s’en sont occupés. Ils ont trouvé des formes possibles, mais non toutes les formes possibles.

Les données du problème peuvent être de deux natures différentes : i° On peut donner la masse liquide et la vitesse angulaire de rotation w; 2° On peut également donner la masse liquide et la valeur p. de la somme des moments dés quantités de mouvement par rapport à l’axe de rotation. Cette somme est d’ailleurs

I désignant le moment d'inertie du liquide par rapport à l’axe. Ce second problème est distinct du premier, car lorsque la forme de la masse change, I varie. Il présente plus d’intérêt que lui au point de vue de la Mécanique céleste. En effet, dans l’hypothèse communément admise d’une planète d'abord à l’état fluide, lorsque cette planète en tournant se refroidit, I etw changent, mais p reste constant. La valeur de p est donc une donnée initiale du problème.

Dans ces Leçons nous. prendrons comme sujet principal l’exposé des travaux de Poincaré ( Acta Mathematica , t. VII, et Leçons sur les figures d'équilibre d'une masse fluide, professées à la Sorbonne en 1900; Gauthier-Villars), en groupant autour d’eux les principales recherches récentes. Parmi ces dernières, il convient de citer au premier rang les recherches de Liapounoff. La plupart des travaux de ce géomètre sont publiés dans les Mémoires de l'Académie de Pètrograd. Des traductions ou des rédactions françaises ont paru dans les Annales de la Faculté de Toulouse (1904) et dans les Annales de l'Ecole Normale supérieure (1909).

2. Indications historiques. — Nous pouvons distinguer trois périodes distinctes :

i° De Newton à Laplace. Les ellipsoïdes de révolution et les anneaux. — Newton a bien vu que sa loi de la gravitation devait permettre d’expliquer la ligure des astres aussi bien que leurs mouvements. Il montre que la force centrifuge, combinée avec la pesanteur, doit donner un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles. Il calcule le poids de la masse liquide contenue dans un