CHAPITRE PREMIER. — PROBLÈME. INDICATIONS HISTORIQUES

tube élémentaire dirigé suivant l’axe polaire et celui de la masse contenue dans un autre tube dirigé suivant un rayon équatorial quelconque, et il en déduit l’aplatissement dans le cas d’une Terre homogène ( Principia , t. III).

Maupertuis (Sur' la figure des astres , 1 782.) étudie l’équilibre d’une figure plane tournant autour d’un axe normal à son plan, en tenant compte d’une attraction centrale et de la force centrifuge. 11 avait sans doute en vue les anneaux de Saturne.

Ma cl a u ri n ( Traité des fluxions, 1 7 42 ) applique à la masse homogène en rotation le principe de Pascal sur l’égalité des pressions, avant même que les principes de l’Hydrostatique soient parfaitement établis. Il étend à tous les points de la masse et à toutes les directions le calcul primitif de Newton. Il montre ainsi que l’ellipsoïde de révolution est bien une figure d’équilibre, où la résultante des forces est partout normale à la surface. Les figures d’équilibre qui sont des ellipsoïdes de révolution portent depuis lors le nom à1 ellipsoïdes de Maclaurin.

Simpson en 1743 étudie les conditions d’existence de ces ellipsoïdes. Il établit que la condition nécessaire et suffisante de l’équilibre est l’égalité de pression à la surface. Il découvre la limite supérieure de l’expression

en prenant la vitesse de rotation comme paramètre. Cette expression, où p désigne la densité et f la constante de la gravitation, doit être plus petite que 0,2247... pour que l’ellipsoïde de révolution existe. Il montre enfin, par le calcul numérique, qu’audessous de cette vitesse critique il y a deux ellipsoïdes qui tendent respectivement vers la sphère ou vers un disque aplati, quand la vitesse tend vers zéro. Ce fait sera démontré plus tard par Laplace à la suite d’une remarque de d’Alembert.

Clairaut, dans son livre remarquable sur la Figure de la Terre (1743), donne à ces démonstrations et à ces résultats leur forme définitive. Il va plus loin et étend ses calculs à l’étude d’une masse hétérogène, comme seraient la Terre et les planètes. Il donne alors les formules qui relient l’aplatissement et la pesanteur à la densité et à la force centrifuge, dans le cas d’une vitesse de rota-

lion assez lente. Travail tellement parfait pour l’époque qu’il n’a été repris et continué que plus de cent ans plus tard.

Ce même problème se posait pour la figure d’une nébuleuse qui se refroidit et se contracte en tournant. Laplace dut y songer. Dès 1 776, il faisait remarquer qu’on n’avait pas de solution générale de ce problème, mais seulement des études de cas particuliers, des solutions purement empiriques.

C’est un peu plus tard que Legendre fait connaître sa méthode fondamentale qui permettra de rechercher directement, avec l’approximation voulue, les figures d’équilibre voisines de la sphère (Histoire de V Académie des Sciences pour 1789). C’est à cette méthode, de toute première importance en Physique mathématique, que sont dus tous les progrès les plus récents sur le problème posé ici. Il considère des dénivellations faibles et se donne en chaque point la cote par rapport à la sphère. Il la définit en fonction des coordonnées sphériques et exprime le potentiel au moyen des harmoniques sphériques ou polynômes de Legendre (*).

C’est l’extension à une fonction de plusieurs variables de la méthode qui permet d’exprimer une fonction d’une variable par une série de fonctions trigonométriques, sinus et cosinus. Le potentiel provenant de l’attraction et le potentiel provenant de la force centrifuge s’expriment donc ainsi en fonctions harmoniques. Il suffit d’identifier l’équation de la surface avec celle qui exprime le potentiel total à la surface : ce potentiel doit être constant. On obtient entre les coefficients une série d’équations qui permettent de déterminer les éléments du problème. C’est cette méthode que Poincaré et LiapounofT ont généralisée et appliquée à l’ellipsoïde au moyen des fonctions de Lamé, qui remplacent ici les fonctions sphériques et qui permettent de traiter le problème dans toute sa généralité.

Laplace démontre par cette méthode que l’ellipsoïde aplati, peu différent d’une sphère, est encore figure d’équilibre même sous l’attraction d’un corps extérieur. Il trouve également que l’anneau

0) La formule était établie pour les points non situés sur la surface. Poisson montre dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1829, p. 366, qu’elle s’applique à tous les points. Callandreau précise les démonstrations de Poisson dans un Mémoire sur la théorie de la figure des planètes ( Annales de l' Observatoire de Paris, t. XIX, 1889, et Comptes rendus, t. CIII, p. 33 et 196).