CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

d’abord les fonctions du premier type III,. On a

M = vV2— b'2 vV2— c*/(p*).= V^1 — ^2)(a2— c2)/^'2).

Si n — i k est le degré de M, le degré de f sera k — i . Or M étant solution d’une équation différentielle linéaire, on peut diviser son expression par la constante \J e(a - — c2), il vient

M = y i — p'2/i(p'2) = sin 9 f i (cos2 o ).

Nous avons vu, d’autre part, que M doit être égal à sinyxp ou à cosyxp. Gomme ici la fonction M est impaire, ce ne peut être que sin/^cp avec p impair.

L’équation caractéristique E2 correspondant à ce cas aura à la limite k racines réelles définies par les formules

Xp = h 3, 2k- il

Les fonctions du type III2 et III3 donneront également chacune k solutions analogues.

En effet, le type III2 nous donne à la limite

M = — c- a- = f fi (p'2) == cosç fi (cos" cp ).

La solution est M = cosyKp avec p impair.

Les racines limites de l’équation caractéristique sont données par la même formule que précédemment (i63) où p est impair. Ce sont les mêmes que celles de E 2= o du cas précédent.

Le type III 3 donne de même

M = y/ ij. 2 — a- v V2— ^2/(m-2)

= [J.' y/i — p.'2 f ] ( p'2 ) = sincp cosp /i(cos2o).,

La solution est M = sinyacp avec p pair (o exclu).

Les valeurs limites des solutions de l’équation caractéristique sont donc les mêmes que celles du type I (162), avec p pair, sauf p — o.

En résumé , pour n pair = 2 k, nous avons trouvé k -{- 1 valeurs de M et k -i- 1 solutions de l’équation caractéristique avec p pair, pour le type I, et k valeurs de M avec k solutions du type III, . Les k dernières valeurs séparent les A**-pi valeurs précédentes.

Pour les fonctions du type 1IL nous obtenons k nouvelles valeurs de M, mais les k solutions correspondantes de l’équation caractéristique sont identiques à celles du type III, . Le type III 3 donne de même k nouvelles valeurs de M et k solutions faisant partie déjà du type I. Les valeurs du type III3 séparent celles de IIÏ2.

Nous obtenons en tout 4 k -b i = 2 n -{- 1 v aleurs de M, comme il le fallait.

4° Les cas où n est impair se traiteraient de la même façon.

Second cas : b = c. — On a un ellipsoïde aplati. On pose

b-— C--T-S. V2 = C2-f- sv'2.

C’est v au lieu de ;jl qui est devenu le paramètre singulier et on le remplace par v . On aura par exemple

V » gi)

/*i cosO.

On prend comme origine des coordonnées polaires Taxe Oti et c’est p qui correspondra maintenant à b. On pose ensuite v' = sin? et I on arrive aux mêmes conclusions.

57. Les racines des équations caractéristiques sont toutes réelles. — Il est facile de le démontrer au moyen des résultats précédents, en se basant sur la loi de continuité.

a2, ù-, c2 étant quelconques, nous pouvons prendre n pair et considérer seulement la cbisse I dont l’équation caractéristique a k -h 1 solutions et la classe III, qui a k solutions. Nous pouvons supposer de plus que le coefficient de la plus haute puissance de II dans l’équation caractéristique est l imité. Laissons alors a et c fixes et faisons varier b d’une façon continue entre les deux. Les coefficients des équations caractéristiques E, et E;î varient d’une façon continue ainsi que leurs racines. Si deux racines sont réelles, elles ne peuv ent devenir imaginaires qu’en devenant d’abord égales.

Si alors nous faisons tendre b vers a, nous savons que, pour b = a. les deux équations E, et E2 dégénèrent et nous en connaissons les racines. Elles sont toutes réelles et celles de Ea s’inter-