CHAPITRE VI

FONCTIONS DE LAMÉ

calent entre celles de E, . Ecrivons le tableau des racines, on a

(Ei) H. H, II:i ... H* U/.-H

(E.,) ir, il ... ir,

Faisons varier maintenant b en sens inverse et tendre vers c. Les racines varient d’une façon continue et si par exemple deux racines de E,, telles que H, et IL devenaient égales, la racine H', de E2 qui est restée constamment comprise entre H1 et IL deviendrait égale à leur valeur commune. Nous aurions une racine double de Tune des deux équations qui serait racine commune aux deux équations. Or on démontre qu’il est impossible qu’il en soit ainsi.

En effet, considérons les équations différentielles qui définissent M pour les deux classes

=[nO + i)pp + H,]M, ^ =[«(» + i)pp + HV|-M'.

II, et H, étant les racines des équations E, et E2. Nous supposons que ces racines deviennent égales, Il , = H', , et nous multiplions les équations par M' et — M, pour les ajouter; nous avons

d'où

d1 M V1 cl- M'

ch- ch-

ch

chl'

ch

Or les fonctions M et M' sont de la forme

Si l’on ajoute une période 2co ou 2ü>', M ne change pas, sa dérivée non plus. Au contraire, M' et sa dérivée changent de signe pour Tune des périodes, comme on l’a vu. On a donc nécessairement

ch ch

d’où

Ar

= const.

Cette relation est impossible, car alors M' et le produit ja2ej33e seraient exprimables rationnellement en fonction de pv et admettraient les périodes 2w et 2«', ce qui n’est pas, d’après ce qu’on a vu au n° 47.

On ne peut donc pas avoir H, = 11', . Les équations E, et E2 ne

peuvent pas avoir de racines communes. Les racines de Tune et l’autre équation restent donc toujours distinctes ét toujours réelles.

Remarque. — On pourrait faire celte démonstration sans recourir aux propriétés des fonctions elliptiques. En effet, en revenant de v à p, on aurait

M =/Cp2). et M' = /^2— 62 vV2— c*

Si l’on substitue ces valeurs de M et M' dans l’équation différentielle, les irrationnelles ne disparaissent pas, B étant en facteur. Il faut alors que la constante soit nulle, ce qui entraîne en intégrant

IVT = CM', /([JL2) = C /[JL2 62 /[JL2 C2 /i([J L2).

Ce qui est impossible, le premier membre étant rationnel, le second non.