LX-i-MY + NZ = O

Par conséquent :

Si X^+ Y- >» O, le système a une résultante unique située dans le plan et dirigée suivant Taxe central;

Si X = O, Y — O avec N^o, le système se réduit à un couple;

Si X = O, Y = O, N = O, le système est en équilibre.

Lorsque N est nul, les forces ont une résultante passant par le point O ou se font équilibre ; si donc la somme des moments des forces par rapport à deux points du plan est nulle, la résultante passe par ces points, ou bien il y a équilibre; enfin, si cette somme est nulle pour trois points du plan, pas en ligne droite, il y a nécessairement équilibre.

102. Exemples. — i° Prenons dans le plan des xy un polygone quelconque et appliquons au milieu de chacun de ses côtés et perpendiculairement à sa direction une force proportionnelle à sa longueur et dirigée vers l’extérieur du polygone; ces forces se font équilibre. Nous allons établir géométriquement cette proposition. Démontrons-la tout d’abord pour un triangle ABC.

CHAPITIŒ VI. — ÉQIILIBRE d’uN CORPS SOUDE. l/jl

Les trois forces A'(K.BG), B'(K.AG), G'(K.AB) sont concourantes comme étant perpendiculaires aux milieux des cotés du triangle; de plus, la somme de leurs projections sur un axe quelconque est évidemment nulle; ces trois forces se font donc équilibre {fig. 66).

Fig. 66.

Passons maintenant au cas d’un polygone quelconque. A l’aide de diagonales issues d’un sommet, partageons-le en triangles. Perpendiculairement aux côtés de chacun des triangles ainsi déterminés et en leurs milieux appliquons une série de forces proportionnelles à ces côtés et dirigées vers l’extérieur du triangle correspondant. D’après ce qui vient d’être dit, ce système de forces est en équilibre : or, au milieu de chaque diagonale sont appliquées deux forces égales et opposées; on peut donc les supprimer sans troubler l’équilibre, et le polygone reste en repos sous l’action des forces appliquées normalement à ses côtés; la proposition est donc démontrée.

2" Soit donné un polygone plan ABGDE {fig. 67), sur lequel nous déter-

Fig. 67.

minons un sens de circulation; appliquons à chaque sommet de ce polygone une force dirigée dans le sens du côté qui y aboutit et proportionnelle à sa longueur. Si le polygone est convexe, ces forces se réduisent à un couple. En effet, la somme des projections de ces forces sur un axe quelconque est nulle comme égale à K fois la projection du contour fermé ABGDE. De plus, la somme des moments par rapport à un point quelconque O du plan du polygone n’est pas nulle; en effet, c’est

N = ± 2K(surf. OAB -f- surf. OBG . .),

c’est-à-dire

DEUXIEAIE PARTIE. — STATIQUE.

N .iKsurf.(ABGDE).

Il ne peut donc pas y avoir équilibre.

Si le polygone est concave, il n’en est plus de même; prenons, en eiïet, le polygone A’B'G'D'; la somme des moments par rapport à un point O du plan sera, en ayant égard à leurs signes,

± 2K(surf. D'IG’ — surf. B' IA');

il y aura donc équilibre si les deux triangles D'IG', B'IA' sont équivalents.

103. Forces parallèles. — Soit un corps solide sollicité par des forces parallèles à une même direction; appelons a, p,yles cosinus directeurs d'une demi-droite OD parallèle à cette direction, P,, p2, P, J les valeurs algébriques des forces parallèles estimées

positivement dans le sens OD» négativement en sens contraire, et Xh^ yki les coordonnées du point d’application de P*. Les différents cas possibles sont les suivants (n® 29) :

i"SP/;^^o. Résultante unique, parallèle à la direction ddnnée, ayant pour valeur algébrique SP/f et appliquée au centre des forces parallèles

SP/,yA- , 2 P/, 2/,