CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’üN CORPS SOLIDE

admeUe une résultante unique, il faut et il suffit que la résultante générale OR soit différente de zéro et que le moment résultant OG soit perpendiculaire à la direction de la résultante générale. La résultante unique est alors dirigée suivant V axe central. Analytiquement, on a les conditions

X2 + Y2+Z2>o, LX + MY -I- NZ = O.

Pour que le système (S) se réduise à un couple unique, il faut et il suffit que la résultante générale soit nulle, sans que le moment résultant le soit :

X=zo, Y=o, Z = o.

100. Autre forme des conditions d’équilibre. — Pour V équilibre d’un solide., il faut et il suffit que la somme des moments des forces par rapport à chacune des six arêtes d’ un tétraèdre soit nulle. Cette condition est évidemment nécessaire : elle est suffisante. En effet, supposons-la remplie pour un tétraèdre ABCD : la somme des moments étant nulle par rapport aux trois arêtes AB, AC, AD, issues du sommet A^ le moment résultant par rapport au point A est nul, et les forces considérées ont une résultante unique passant par A ou bien se font équilibre. Le même raisonnement pouvant être appliqué à chaque sommet, les forces se font équilibre, car il est impossible qu’elles aient une résultante unique passant par les cquatre sommets.

Gomme application, on démontre que quatre forces appliquées aux quatre sommets d’un tétraèdre, proportionnelles aux aires des faces opposées et

Fig. 65.

dirigées normalement vers ces faces, se font équilibre. On vérifie que la somme des moments par rapport à chacune des six arêtes du tétraèdre est nulle {fig. 65).

l4o DEUXIÈME PARTIE. — STATIQUE.

En eiïet, soient a, y, o les forces appliquées aux sommets A, B, G, D du tétraèdre ;

a = Â:.BGD, ^ = A.GDÂ, y = o = k.ÂBC.

Prenons les moments par rapport à l’arête CD : les forces y et 8 ont des moments nuis; les forces a et ^ ont des moments de signes contraires. La force a étant dirigée suivant la hauteur AA', l’angle de a aA^ec CD est droit, et la plus courte distance de a à CD est la perpendiculaire A' A", abaissée de A' sur CD ; le moment de a par rapport à CD a donc pour valeur absolue

a. A'A"= a.AA'.cotcp = /r. BGD . AA'.cotcp = 3 A V cotcp,

V désignant le volume du tétraèdre et cp l’angle dièdre suivant l’arête CD. Le moment de ^ a la même valeur absolue. La somme des moments par rapport à une arête quelconque CD est donc nulle.

II. — APPLICATIONS. FORCES DANS UN PLAN. FORCES PARALLÈLES; CENTRES DE GRAVITÉ.

101. Forces dans un plan. — Prenons ce plan pour plan des xy; nous aurons évidemment