CHAPITRE VI. — ÉQUILIBRE d’uN CORPS SOLIDE. l

dans lin sens coïncide avec le centre de celles qui tirent en sens contraire, de sorte que ces deux systèmes de forces se font toujours équilibre.

104. Centres de gravité. — Nous avons déjà défini le poids d’un point matériel : c’est une force verticale dont l’intensité p est égale à la masse du point matériel multipliée par l’accélération g due à la pesanteur, accélération qui, en un même lieu, est la même pour tous les corps. La direction de la verticale change d’un lieu à l’autre; l’observation a prouvé que la valeur de g varie avec la latitude et l’altitude; mais ces variations sont insensibles dans l’étendue d’un corps de dimensions ordinaires. Un corps solide pesant peut donc être considéré comme une réunion d’un grand nombre de points matériels liés entre eux et sollicités par des forces verticales, parallèles, proportionnelles à leurs masses, localisées en ces points. La résultante de ces forces, qui est égale à leur somme, s’appelle le poids du corps. Le point d’application de cette résultante, ou le centre des forces parallèles localisées aux points matériels, se nomme spécialement centre de gravité; il occupe dans le corps une position indépendante de l’orientation de celui-ci; car, lorsque le corps se déplace, tout se passe, pour un observateur entraîné avec lui, comme si, le corps restant immobile, les forces parallèles tournaient d’un même angle autour de leurs points d’application, ce qui n’altère pas la position du centre des forces parallèles. Ainsi, le centre de gravité est Le point du corps par lequel passe constamment le poids du corps quelle que soit son orientation. Si donc on fixe le centre de gravité, en laissant au corps solide la liberté de tourner autour de ce point, le corps, soumis uniquement à l’action de la pesanteur, reste en équilibre dans toutes les positions qu’il peut prendre.

105. Expression des coordonnées du centre de gravité. — Soient

/n, , Wo, . . ., m,i les masses, Pn les poids des points matériels qui constituent un corps solide, ^2), •••>

(Xn, Zn) leurs coordonnées, P et M le poids et la masse du corps. On aura

Pk = rnug,

l44 DEUXIÈME PARTIE. — STATIQUE.

Si l’on désigne par (^, tj, Q les coordonnées du centre de gravité, on a, d’après les formules qui donnent le centre des forces parallèles,

V P ‘ - Pn^n ^^^1 ^ 1 ■+■ -r- . . . -f- llXnX a

^ • • + />« mi -H /«2 4- . . . -h ’

OU, sous forme abrégée,

^ Zpx 'Lmx S P y S my ^ "Zpz 'Zrnz

On voit, d’après ces formules, que la position du centre de gravité dépend uniquement des masses des points.

Cette observation est importante, car elle permet d’étendre la notion du centre de gravité à des systèmes non pesants. Même, dans certaines questions relatives à des points matériels de masses m,, «22, niji non invariablement liés entre eux, il est utile d’introduire le point dont les coordonnées Ç,yj, Ç sont définies par les formules précédentes : ce point, qu’Euler proposait d’appeler centre d‘ inertie, continue à porter le nom de centre de gravité, quoique les considérations qui conduisent à la notion du centre de gravité ne soient plus applicables. Le centre de gravité est évidemment situé à l’intérieur de toute surface convexe entourant les points considérés (n° 32, Remarque II).

Lorsqu’on connaît les centres de gravité et G2 de deux parties d’un corps et leurs masses M, et M2, on en déduit immédiatement le centre de gravité du corps, car ce centre est le centre des forces parallèles et M2^' appliquées aux deux points G, et G2- D’une manière générale, lorsqu’on connaît les centres de gravité G< , G2, G^^ de plusieurs parties d’un corps et leurs

masses M, , M2, . . ., M^, le centre de gravité du corps est le centre des forces parallèles M2^, ..., appliquées aux

points Gi , G2, . . G^. En appelant , y, , , .3^2, JK2? ^2, • • • ,

Xp,yp, Zp les coordonnées des centres de gravité de ces diverses parties, on aura pour les coordonnées Yj, Ç du centre de gravité du corps

J MiÆ^i -f- M2Æ^2 s M ^ ^ E M Z

^ Mi-+- Ma -f-Mp ’ YW