CHAPITRE Vil. — SYSTEMES DEFORMABLES

dont l’interprétation géométrique est simple. La quantité

représente la projection du segment BBi sur la tangente BT2; elle est donc égale à BBj cosT.^BBi; la deuxième des quantités qui figure dans 8I est de même AAj cos Ti AAj ; donc enfin

81 = BB7cp(B)cosfT^i — ÂÂ^cp(A)costCaA'i,

ou, sous une forme plus symétrique,

81 = — AAi cp(A) cosBAAi — BBj cp(B) cosÂBBi,

car l’angle ABBi est supplémentaire de T2BB1 et BAAi égal à TiAAj.

Cette formule est entièrement analogue à la formule élémentaire bien connue qui donne la variation de longueur d’un segment de droite et que l’on obtiendrait en supposant <p = i {voir le Traité de Calcul différentiel de M. Bertrand, p. 22).

Les conséquences de la formule (4) sont identiques à celles que l’on tire de la formule analogue relative aux droites, pour la théorie des développées et celles des courbes et surfaces parallèles. Nous indiquerons les suivantes, qui donnent des résultats intéressants dans la théorie des courbes hrachistochrones, le principe de la moindre aetion et le problème de la réfraction. Nous supposons dans ce qui suit que cp ne s’annule pas dans la portion de l’espace considérée.

Applications. — Étant données deux surfaces S et S, quelle courbe faut-il tracer de l’une des surfaces à Vautre pour que l’intégrale I prise le long de cette courbe soit minimum ou maximum? Soient A et B {fig. 98) les deux points inconnus où la courbe cherchée rencontre les deux surfaces. Cette courbe sera, en particulier, parmi toutes celles qui joignent les deux points A et B, celle qui rend I maximum ou minimum : c’est donc une courbe C définie par les équations (3 ). Pour déterminer les points A et B, remarquons que, quand on passe de la courbe ACB, qui rend I maximum ou minimum entre les deux surfaces, à une courbe quelconque infiniment voisine, et en particulier à une autre courbe C infiniment voisine, 8l doit être nul. Calculons cette variation quand on passe de la courbe ACB à une autre courbe C infiniment voisine AEBj, partant du même point A, pour aboutir à un autre point Bj de S. On a alors, d’après la formule ci-dessus,

81 = — BBi <p(B) cos ABBi.

Comme 61 est nul, le cosinus doit l’être; l’angle ABBi est donc droit pour toutes les positions de Bi sur S, et la courbe C cherchée coupe S

normalement; elle coupera de même S normalement. En particulier, si cp = i, on retrouve ce théorème élémentaire que la plus courte distance de S à S s’obtient en menant une normale commune aux deux surfaces. On voit que la courbe cherchée G est la figure d’équilibre d’un fil dont les extrémités glissent sans frottement sur les deux surfaces, la tension étant O et la fonction des forces — cp. Il est évident que le même théorème subsiste si l’une des surfaces est remplacée par une courbe fixe donnée ou par un point.

Théorème de Tait et Thomson. — Si l’on considère les courbes G définies par les équations (3) normales à une surface donnée S et si, sur chacune de ces courbes, on prend, à partir du point A où elle rencontre la surface S, un arc AB tel que V intégrale

prise sur cette courbe, ait une valeur constante, la même pour toutes les courbes, le lieu des points B est une surface 2, normale à toutes les courbes.

En effet {fig. 98), si l’on passe de la courbe G à la courbe infiniment

Fis.

voisine Gi, la variation 0I de l’intégrale donnée par la formule (4) est

nulle par hypothèse; comme cos BAAi est nul, la courbe G étant normale

à S, cos ABBi est nul aussi, et la courbe G est normale à S.

Ge théorème, qui comprend comme cas particulier (cp = i) la théorie des surfaces parallèles, s’applique évidemmemt au' cas limite où la surface S se réduit à une sphère de rayon infiniment petit, c’est-à-dire où les courbes G passent par un point fixe.