CHAPITRE VII. — SYSTEMES DEFORMABLES

on obtient ainsi l’identité évidente

Les équations (3), dans lesquelles on remplace ds par \J dx'^ dy'^ ^ donnent deux équations dififérentielles du second ordre dont les intégrales définissent y et ^ en fonction de X et de quatre constantes arbitraires :

I y = Cl, C2, C3, C4),

( ^ = X.(^^ Cl, C2, C3, C4).

On détermine les constantes en écrivant que la courbe passe par les deux points donnés A et B, ce qui donne quatre équations entre les quatre constantes. On a ainsi les courbes cherchées joignant les deux points. Elles ne donnent pas toutes un maximum ou un minimum pour l’intégrale, mais c’est parmi les courbes ainsi trouvées que sont celles qui réalisent le maximum ou le minimum. Gomme les équations générales des courbes G renferment quatre constantes, une de ces courbes est déterminée par quatre conditions, par exemple, sauf des cas exceptionnels, par les conditions de passer par un point donné et d’admettre en ce point une tangente donnée. On vérifie sans peine que, si cp est constant, les courbes G obtenues par l’intégration des équations (3) sont des droites

y — ax ^ = 03^7-4-04,

comme nous l’avons vu a priori.

On voit, d’après les équations (3), que les courbes cherchées G sont les figures d^ équilibre d’un fil sollicité par une force F dérivant de la fonction des forces — f y, l<^ tension du fil étant assujettie à avoir la valeur ^{x, y, z). Réciproquement, soit un fil en équilibre, les équations d’équilibre étant

<^(x^)+^rfs = o, avec T = -(U4-Â); si, sur le fil,

on prend deux points fixes A et B, la figure d’équilibre rend, en général, maximum ou minimum l’intégrale

où

cp — — (U h)\

dans tons les cas, elle annule la variation de cette intégrale. (Md- Bius, Statique^ 2^ Partie, Chap. VII.)

J 47. Formule de Tait et Thomson. — Le calcul que nous venons de faire, étant interprété d’une façon un peu différente, conduit à un important théorème dû à Tait et Thomson. Soient G un arc d’une des courbes vérifiant les équations (3) ayant pour extrémités les points A et B, et Cl une autre courbe infiniment voisine de la première ayant pour extré-

Fig- 97-

mités les points Ai, Bi infiniment voisins de A et B {Jig. 97). On pourra, comme plus haut, passer de la courbe G à Ci en posant

avec cette différence que êt], ne s’annulent plus aux limites a et 6,

mais prennent pour q = a des valeurs (e^i, (£ï])i, (^Oi égales aux projections du segment AAi sur les axes, et pour q = h des,valeurs (£^)2, (eri)2, (£^2 égales aux projections du segment BB]. La différence Ii — I

des valeurs de l’intégrale ^ cp ds le long des deux courbes G] et G est encore

donnée par la formule (2) dans laquelle la partie intégrée formant le premier terme n’est plus nulle, tandis que l’intégrale J qui figure dans le second terme est nulle, la courbe G vérifiant par hypothèse les équations (3), de sorte que tous les éléments de J sont nuis. On a donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre e'^K dans la formule (2),

dx dy dz\

Les valeurs de e^, sy), aux deux limites a el b viennent d’être indi-

quées; appelons cp(A) et ^(B) les valeurs de la fonction cp aux deux

„ „ dx dy dz , , .

points A et B; remarquons enfin que, étant les cosinus direc-

teurs a, p, Y de la tangente MT à la courbe G menée dans le sens des arcs croissants, c’est-à-dire de A vers B, les valeurs de ces quantités aux deux limites sont les cosinus directeurs aj, yj et a2, (^2, 72 des deux tangentes ATj et BT2 aux deux extrémités. On a donc, pour SI, l’expression

— [(e^)i ai -t- (eiQ )i [3i ■

(£C)iTi1t(^),