CHAPITRE VII. — SYSTÈMES DÉFORMABLES
horizontal ; nous avons vu en effet que, étant l’ordonnée de la base d’une chaînette en équilibre, la tension T est p{z — Zq)] Zq doit donc être nul.
Ce résultat s’interprète géométriquement d’une façon intéressante. Soient, dans un plan vertical zOx, les deux points fixes A et B situés au-
Fig- 99-
dessus de O et une courbe AMB joignant ces deux points. L’aire engendrée par la révolution de cette courbe autour de est
^ (li)
2 TT / Z ds.
La courbe AMB, qui engendre l’aire minimum, est donc la chaînette qui joint les deux points A, B et qui a pour base Ox. En cherchant à déterminer la chaînette remplissant ces conditions, on trouve qu’elle n’existe pas toujours : par exemple, si les deux points A et B ont même ordonnée, elle n’existe que si le demi-angle au sommet G du triangle isoscêle AGB, ayant sa base en AB et son sommet en G sur l’axe, est moindre que 33°32’, car c’est là l’angle que {Jig. 99) fait avec l’axe de symétrie GD d’une chaînette la tangente GT à la courbe issue du pied de l’axe de symétrie sur la base. Nous ne donnerons pas ici les conditions pour que la chaînette existe quand les deux points A et B sont quelconques : ces conditions ont été déterminées pour la première fois par Goldschmidt {Determinatio super Jiciei minimæ, etc.; Gôttingen, i83i).
Lorsque la chaînette n’existe pas, la courbe AMB qui, en tournant autour de Ox, engendre l’aire minimum, est composée des deux ordonnées AA’, BB' des points donnés et de la portion d’axe Ox comprise entre A' et B'. En effet, les équations différentielles de la courbe sont
d(pz^£^-pds = o,
équations qui se réduisent à une. La première donne = k. ?i\ k est
différent de zéro, on a une chaînette : cette solution est donc à rejeter si la chaînette n’existe pas. Il faut alors supposer k nul, et l’on trouve
dx
équation qui montre que ^ est nul ou que x est constant. La portion de courbe non confondue avec Ox est donc formée de droites peipendiculaires à Ox.
2" Soit cp égal à les points et les courbes considérés étant encore
situés au-dessus du plan xOy. Les courbes G sont toujours placées dans des plans verticaux, et, dans un de ces plans zOx., elles ont pour équations différentielles
/ I dx\
