V.S ds

\z ds }

ds

équations qui se réduisent à une. La première donne

I dx I , Z dz

-J- = - J dx =±: -y- ■ ,

Z ds C y/ q-2 — ^2

en remplaçant ds par sa valeur \/dx^-[-dz^ et séparant les variables. L’intégration est immédiate, et l’on trouve, en appelant a une nouvelle constante,

équation d’un cercle ayant son centre sur Ox. Donc, dans l’espace, les courbes G sont des cercles orthogonaux au plan des xy. Par deux points A et B passe évidemment un de ces cercles et un seul.

La Géométrie qu’on obtient en faisant jouer à ces cercles G le même rôle qu’aux droites dans la Géométrie ordinaire, en conservant la notion élémentaire d’angle et en appelant longueur d’un arc de courbe la valeur

/ds

— étendue à cet arc, est la Géométrie non euclidienne de

Lovatchevski.

149. Même problème sur une surface. — La recherche de la figure d’équilibre d’un fil sur une surface, dans le cas où il existe une fonction des forces, se rattache de même à la recherche du maximum ou du minimum d une intégrale définie.

Cherchons quelle est., parmi toutes les courbes tracées sur une surface fixe S et joignant deux points fixes A B <fe cette surface, celle qui rend minimum ou maximum l’intégrale

I z)ds.

Soient G la courbe cherchée, Gi une courbe infiniment voisine tracée sur la surface entre les deux mêmes points A et B. En appelant x, y, z les coordonnées d’un point M de la courbe G, les coordonnées du point Mj