CHAPITRE VIII
PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES
nées précédemment (n“ 163); il conduit à c[uelqiies conséquences géométriques que nous indiquerons, comme exercices, à la fin du Chapitre (Exercices 1 et 2).
II. - PREMIERS EXEMPLES. SYSTÈMES A LIAISONS COMPLÈTES. MACHINES SIMPLES.
168. Systèmes à liaisons complètes. — On dit qu’un système de points matériels est à liaisons complètes quand sa position ne dépend cpie d’un paramètre. Dans un tel système, chaque point décrit une courbe fixe déterminée, et la position d’un point sur sa trajectoire suffit pour déterminer la position de tous les autres points. Par exemjile, un corps solide, assujetti à tourner autour d’un axe fixe, est un système à liaisons complètes : la position du corps ne dépend que de l’angle dont le corps tourne à partir d’une position initiale; chaque point du corps décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l’axe et dont le centre est sur l’axe; la position d’un de ces points suffit pour déterminer celle de tous les autres. Une vis mobile dans un écrou fixe, une chaîne assujettie à glisser le long d’une courbe lîxe, sont des systèmes à liaisons complètes.
Ces systèmes sont les plus simples de tons, car on peut leur imprimer un seul déplacement virtuel compatible avec les liaisons, à savoir le déplacement obtenu en faisant varier infiniment peu le paramètre unique dont dépend la position du système. 11 y aura donc une seule condition d’équilibre.
169. Machines simples. — Les machines simples sont des systèmes à liaisons complètes sur lesquels agissent deux forces : l’une P est appelée la puissance, l’autre Pv la résistance. Pour trouver la condition d’équilibre, on imprime à la machine le déplacement virtuel unique compatible avec les liaisons. Soient, dans ce déplacement, 8P la projection sur P du déplacement AA' du point d’application A de la puissance, et 8R.la projection sur R du déplacement RB' du point d’application B de la résistance
io8). La condition d’équilibre est
P6P-hR8R = o.
En introduisant les vitesses virtuelles au lieu des déplacements, on a la condition
PÜ-RVn=o,
OÙ Up désigne la projection sur P de la vitesse virtuelle U du point A, et Vr la projection sur R de la vitesse virtuelle V du
Fig. io8.
point B. Dans l’équilibre, la puissance et la résistance sont donc entre elles dans le rapport inverse des vitesses virtuelles de leurs points d’application estimées suivant leurs directions. C’est ce que Galilée énonçait sous la forme suivante : « Ce que l’on gagne en force, on le perd en vitesse. »
1° Presse à coin. — Le coin est un prisme triangulaire isoscèle placé^ entre deux madriers, l’un fixe, l’autre assujetti à se déplacer horizontalement. La puissance est une pression exercée verticalement sur la base du coin supposée horizontale. La résistance est la force horizontale R qui s’oppose au déplacement du madrier mobile. Imaginons un déplacement virtuel amenant le coin ABC en A'B’G' {fig. 109) de façon qu’il descende de
BH = ÔP;
Fig. 109.
le déplacement oR est égal à IB' pris négativement, c’est-à-dire, l'angle G étant 2a,
ÔR = — 2BH tanga - — 2 ôP tanga;
PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES
la condition d’équilibre est donc
P ÔP — 2 R tanga ôP = o ou
P = 2 R tanga;
l’emploi du coin sera d’autant plus avantageux que l’angle sera plus petit.
2° Vis de pression. — Nous supposerons que la puissance est une force P perpendiculaire à l’axe {Jig- tio) de la vis et appliquée en A à une distance a de cet axe, normalement au plan A^B, la résistance R
exerçant son action suivant cet axe même. Pour une rotation infiniment petite 86, seul déplacement compatible avec les liaisons, la projection sur P du petit arc d’hélice que décrit le point A est un arc de cercle de rayon a et d’ouverture 86 :
oP — a 86.
Quant à 8R, il a pour valeur
oR = ^ 86,
