CHAPITRE VIII

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

Il 6D résulte que si, pour tous les déplacements possibles, compatibles avec les liaisons, Sd est nulle, l’équilibre a lieu.

166. Remarque sur le travail d’une force. — L’analyse que nous avons faite des diverses sortes de liaisons possibles met en évidence un point sur lequel il n’est pas inutile d’insister. C’est que, pour évaluer le travail élémentaire d’une force, soit virtuel, soit réel, il ne faut pas confondre le point matériel auquel la force est appliquée avec le point géométrique d’application de la force. Dans l’expression du travail élémentaire

F. MM', cos FVcos(fCV)ô^,

MM' et V désignent le déplacement infiniment petit et la vitesse du point matériel auquel est appliquée la foree, et non le déplacement et la vitesse du point géométrique d’application de la force. Par exemple, si une roue R {fig- roule sur une

Fig. 107.

courbe fixe C, la réaction P de la courbe est appliquée au point matériel de la roue M qui se trouve au contact; après un intervalle de temps 8^, la roue a pris une position infiniment voisine, un nouveau point M^ de la roue est au contact et la réaction P^ est appliquée en M^ ; quant au point matériel M, primitivement au contact, il est venu en M'. C’est le déplacement MM' et la

vitesse du point matériel M (vitesse nulle à cause du roulement) qui figurent dans le travail de P, et non pas le déplacement MM^ et la vitesse du point géométrique d’applicafion.

167. Sur les liaisons effectuées à Taide de corps sans masse. — 11 arrive quelquefois que, dans un système en mouvement ou en

équilibre, il se Iroiive des corps dont on néglige la masse par rapport aux autres corps du système et qu’on regarde comme ayant une masse nulle. On traduit cette hypothèse en exprimant que les forces appliquées à un corps sans masse se font équilibre. En effet, les équations du mouvement d’un point sont

in

(P- X dt-

X, X, Z désignant les projections delà résultante des forces appliquées au point. Le point m. étant supposé appartenir à un système en mouvement, so,n accélération est linie, de sorte (pie, si ni est une masse très petite, X, Y, Z sont elles-mêmes des quantités très petites. Si l’on suppose m = o, X, Y, Z doivent être nuUes et les forces appliquées au point se font écpiilibre. Si l’on imagine maintenant un système sans masse, chaque point du système a une masse nulle et toutes les forces appliquées à ce point se font équilibre : l’ensemble de toutes les forces appliquées à ce système est donc en équilibre.

Par exemple, si deux points matériels M et M' sont liés l’un à l’autre par une lige rigide et sans masse, les actions de la lige sur les deux points sont deux forces F et F' égales et directement opposées. En effet, l’action de la tige sur le point M étant F, celle de M sur la lige est — F; de même, celle de XF sur la tige est

— F'. Les forces appliquées à la tige sont donc — F et — F^ et, comme elles doivent se faire équilibre, elles sont égales et directement opposées. On retombe ainsi sur une liaison qui a été examinée précédemment (ii‘’ 161).

Soient encore deux points matériels Met M' liés par un fil inextensible et sans masse passant sur une surface S fixe ou mobile sur laquelle il peut glisser sans l'rottement. Soient T et les actions exercées par le fil sur les deux points M et M', et, par suite, — T et — T'' les actions exercées sur le fil par les points. Le fil est sollicité à ses deux extrémités par les Ibrces — T et

— T' et, dans la partie qui touche la surface S, par des forces normales provenant de la réaction de la surface. Comme il doit être en équilibre, sa tension est la même partout et il est disposé suivant une ligne géodésique de la surface (n° 144); en particulier, T = Tb Ce genre de liaisons rentre dans des liaisons exami-