CHAPITRE VIII

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

de |oP; cette expression changée de signe est la valeur de 3R, et l’on a, pour l’équilibre,

7" Chaîne inextensible glissant sans frottement sur une courbe fixe. — Soient A et B les extrémités de la chaîne, dont l’épaisseur est supposée infiniment petite, F la force directement appliquée à un élément ds placé en G, F/^ la projection de F sur la tangente à la courbe en G dans le sens AB. Imprimons au système le seul déplacement virtuel qui soit compatible avec les liaisons, déplacement dans lequel la chaîne tout entière et, par suite, chaque élément glissent le long de la courbe d’une même quantité GG' égale à {fig. ii5). Le travail virtuel de la force F est F^Sa;

Fig. ii5.

en écrivant que la somme de ces travaux est nulle et remarquant que o<7 peut être mis en facteur dans la somme, on trouve, pour la condition de l’équilibre,

Gette condition est suffisante à condition d’admettre que la chaîne est tendue en tous ses points et non pressée. Par exemple, si aucune force n’est directement appliquée à la chaîne, sauf deux forces P et R appliquées aux deux extrémités, la condition d’équilibre est

8® Équilibre d’un fluide incompressible dans un tuyau très étroit. — Galilée s’est déjà servi du principe des vitesses virtuelles pour démontrer les principaux théorèmes d’Hydrostatique ; Descartes et Pascal ont également employé ce principe pour étudier l’équilibre des fluides. Pour qu’on puisse appliquei- le principe des vitesses virtuelles à un fluide, sans tenir compte des travaux des forces intérieures, il faut que les travaux des forces intérieures du fluide ou forces de liaison soient nuis pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons, c’est-à-dire que les molécules voisines restent à une distance constante (fluide incompressible) et qu’il n’y ait pas de frottements intérieurs (fluidité parfaite). Nous empruntons l’exemple suivant à Lagrange {Statique, 7® Section).

Gonsidérons un fluide incompressible enfermé dans un tuyau infiniment étroit dont la forme est donnée et dont la section droite oj varie suivant une loi donnée. Pour plus de précision, on peut se représenter le tube

comme engendré par un élément plan w d’aire infiniment petite se déplaçant en restant normal à une courbe donnée S {Jig. ii6). Soient A et B les extrémités de la colonne fluide supposées maintenues par deux pistons infiniment petits, dm un élément de la colonne fluide placé en un point G où la section droite est w; désignons par F la force appliquée à l’élément dm

Fig. ii6.

et par sa projection sur la tangente à la courbe S dans le sens AB, c’est-à-dire sur la normale à w. Imprimons à la colonne fluide le seul déplacement virtuel qui soit compatible avec les liaisons, déplacement qui consiste à faire glisser la colonne tout entière d’une quantité infiniment petite. Dans ce glissement, l’élément dm placé en G parcourt sur la courbe S un arc 85 : de sorte que est la quantité du fluide qui passe par la section Sw du canal. A cause de l’incompressibilité du fluide, il faut que cette quantité soit la même partout; on peut donc poser 1085 = a, a étant

le même tout le long du tube. Le travail de F est alors F^S^ ou - E^, et

to

la somme des travaux virtuels des forces F directement appliquées est Ff

— • La condition nécessaire et suffisante de l’équilibre est donc

en supposant que la colonne soit eomprimée en tous ses points.

Par exemple, si les seules forces appliquées à la colonne fluide sont deux pressions Pq et Pi appliquées normalement sur les deux pistons A et B de sections ojo et o>i, la condition d’équilibre est

COo o>i

Remarque. — On arrive à cette même équation pour l’équilibre d’un fluide dans les conditions suivantes. Imaginons un vase de forme quelconque entièrement clos dont partent deux tubes cylindriques A et B de sections Wq et u>i. Supposons le vase rempli d’un liquide sur lequel n’agit aucune force directement appliquée et les deux tubes bouchés par deux pistons A et B sur lesquels on exerce des pressions normales Pq et Pi. Si l’on enfonce le piston A d’une quantité infiniment petite Eq, le volume intérieur diminue de Eo^o • il faut donc que le piston B s’élève d’une

PRINCIPE Di:S VITESSES VIRTUELLES.