Réduction des équations d’équilibre au nombre minimum

— Dans chaque système particulier, pour obtenir le déplacement virtuel le plus général compatible avec les liaisons, il faut et il suffit qu’on fasse subir à k paramètres ^3? • • *5 ([k des variations arbitraires , 8^2, . . oq^. On dit alors que le système considéré possède k degrés de liberté.

Par exemple, pour obtenir le déplacement le plus général d’un point sur une surface (n° 159), il suffit de faire subir à deux paramètres des variations arbitraires et oq^ ; un point sur une surface est donc un système à deux degrés de liberté.

Pour obtenir le déplacement le plus général d’un solide libre, il suffit de lui imprimer trois translations arbitraires infiniment

petites parallèles aux trois axes et de le faire tourner de trois angles infiniment petits arbitraires autour des trois axes; un corps solide entièrement libre est donc un système à six degrés de liberté.

Prenons encore le système formé par une circonférence matérielle rigide, assujettie à rouler sans glisser sur un plan fixe P (cerceau) : la liaison s’exprime en écrivant que la vitesse du point matériel au contact est nulle ; donc, pour imprimer au cerceau un déplacement compatible avec la liaison, il faut et il suffit qu’on le lasse tourner d’un angle infiniment petit autour d’un axe arbitrairement clioisi passant par le point de contact avec le plan ; or, cette rotation élémentaire peut toujours se décomposer en trois, l’une autour de la normale au plan (ixe menée par le point A de contact, l’autre 8^2 autour de la tangente au cerceau en A, la troisième hq^ autour de la normale menée en A au cerceau dans le plan fixe. Le cerceau conslitue donc un système à trois degrés de liberté.

Revenons au cas général d’un système à k degrés de liberté. Comme, par hypothèse, le déplacement du système est défini par les variations arbitraires ^q^ , • • • 5 les variations ,

3^1, • • • des coordonnées des divers points du système sont déterminées dès qu’on connaît 0^2? •••? Ori

aura donc pour ces variations dos expressions de la forme

\ ô^i H- «12 09^2 + . . .Hh \ \ ùq \ H- b ^q% /r A 1

Cji 8q i -H C12 ôç'a — t- . . . — t- Cl 4- 0^/, ,

oqi -t- «v2 ^*72 -H . . . -+- «vA,- ^q/ii by\ ^qi ^v2 Sç'2 + • . • + ^vA ^q Cvi ^q I — C>^2 ^q 2 — t— • • • — 1~ CvA ^q kl

Si l’on porte ces valeurs dans l’équation générale de la Statique

S ( ôâ/'y — 1— Yy — i— Zvô-S^) = O,

elle prend la forme

( 3 ) Qi 8qi H- Q2 0^2 -H ... -h Qa ^q k — O

ôa^i

Ôyv =

àZy =