Systèmes holonomes ; coordonnées d’un tel système

On dit, d’après le physicien Hertz [OEuvres complètes, t. III), qu’un système à k degrés de liberté est holonome quand il existe un système de paramètres . . . , tel que les coordonnées

.Tv, jKv5 des divers points du système s’expriment en fonction de ces paramètres sous forme finie :

= cpv (^Ti, gr2, . . qi,).

jKv= qk),

Zy = ^viqx, <72, . • - , qk)

Les paramètres q^, q<^^ ..., qj^ sont alors les coordonnées du système holonome; la connaissance de leurs valeurs numériques détermine la position du système. Pour obtenir un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, il suffit de donner à q^^ ^2? des accroissements infiniment petits arbitraires ,

• • • 7 ^qk- On a ainsi, d’après (5),

(fi)

dxy dxy .

Sa?v = + -T — 6^2 -

dqx ^ dq^ ^

àz^l

àqx

^ , àZ\f -

àqk

^qk,

^qk-,

àqk

àZy

àqk

oqk

Ces formules sont des cas particuliers des expressions (2) : elles sont particulières parce que, dans le cas actuel, les seconds

membres des expressions de SjPv, sont des différentielles totales exactes de fonctions de , ^2? • • • j ce qui n’a pas lieu dans le cas général (2).

En portant les expressions (6) dans l’équation générale de la Statique (1), on obtient les équations d’équilibre sous la forme

(7) Ql=0, Q2=0, ..., Q/,= o

avec

La plupart des systèmes qui se présentent dans les applications sont holonomes : par exemple, un corps solide assujetti à tourner autour d’un axe fixe et à glisser le long de cet axe est un système holonome, car sa position dépend de deux coordonnées, l’angle dont il a tourné à partir d’une certaine position et la longueur dont il a glissé le long de l’axe à partir de cette position.

TJn corps solide mobile autour d’un point fixe est un système holonome, car la position du corps est déterminée par trois coordonnées qui sont, par exemple, les angles d’Euler que fait un système d’axes liés au corps avec des axes fixes.

Par contre, une circonférence assujettie à rouler sans glisser sur un plan fixe (cerceau) ne constitue pas un système holonome; cela résulte de ce qu’un cerceau est un système à trois degrés de liberté (n° 171), et cependant on ne peut pas déterminer par trois coordonnées sa position sur le plan sur lequel il roule.

173. Cas particulier où Texpression du travail virtuel est une différentielle exacte. — Les résultats généraux qui précèdent ont une forme intéressante quand l’expression du travail virtuel

Qi ^q\ + Q2 -t- . . . H- Qæ ^qki

où Qi, Qo, . . ., Q^f sont exprimés en fonction des <7, est la différentielle totale exacte d’une fonction (J de ^4, ^2> • • •> c’està-dire si l’on a