CHAPITRE VIII

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

les équations d’équilibre sont alors celles qu’on écrirait si l’on voulait chercher les maxima et les minima de la fonction U; nous démontrerons en Dynamique que, si, pour un système déterminé de valeurs des cette fonction U est réellement maximum, la position d’équilibre correspondante est une position d’équilibre stable (Lejeune-Dirichlet).

Le cas où il y a une fonction de forces, c’est-à-dire celui où S ( Xv -f- Y\) ôyv )

est la différentielle totale exacte d’une fonction de JK25 ^2? - --J ^n-> ym rentre dans celui que nous venons d’étudier, car, si l’on remplace les coordonnées et leurs différentielles par leurs valeurs en fonction des q et des l’expression considérée reste une différentielle totale exacte. Mais la réciproque n’est pas vraie : il peut se faire que Qi ^q^ + Q2S5'2 + -*- + soit une différentielle exacte, sans qu’il y ait une fonction des forces.

174. Application. Système pesant. — Quand le système dont on cherche les positions d’équilibre est sollicité uniquement par la pesanteur, comme force directement appliquée, il existe évidemment une fonction des forces directement appliquées. En effet, en supposant un axe Oz vertical, dirigé vers le bas, le poids d’un point mi du système est niig et le travail virtuel de ce poids la somme des travaux virtuels est donc

gi^rrii hzi= gM SÇ,

en appelant Ç l’ordonnée du centre de gravité. Les positions d’équilibre sont alors celles qui annulent ; ce sont celles qu’on trouverait en cherchant les maxima et les minima de ^ considéré comme fonction des k paramètres géométriquement indépendants q^ , ^25 • • *7 (Jk-) qui définissent la position du système.

Exemples. — 1'^ Cherchons les positions d’équilibre d’une barre homogène pesante AB i^Jig. 117) dont les extrémités glissent sans frottement sur une conique dont l’axe focal est vertical (système avec un degré de liberté). On a d’abord comme positions d’équilibre évidentes les positions horizontales si elles sont possibles. Pour trouver d’autres positions d’équilibre, considérons une directrice DD', et soient AA' et BB' les distances

des points A et B à cette directrice. La distance à la droite DD' du centre de gravité G, situé au milieu de AB, est

7^, ÂÂ~'h- BF

(jr<7 =

Fig. 117.

Or, en appelant e l’excentricité et F le foyer correspondant à DD', on sait que AA' et BB' sont égaux respectivement à - AF et - BF, d’où l’on conclut

La distance GG' est donc maximum ou minimum en même temps que AF -4- BF, et cette dernière somme est évidemment minimum quand la droite AB passe par le foyer F. Donc, si la droite peut passer par un foyer, chacune de ces positions est une position d’équilibre. Dans le cas delà figure, lorsque la droite passe par F, elle est en équilibre instable, car dans cette position le centre de gravité est plus haut que dans les positions voisines ; elle est en équilibre stable quand elle passe par l’autre foyer Fi, comme on le voit en prenant l’autre directrice DiD'^.

2° Une chaînette pesante, homogène ou non, dont les extrémités sont fixes ou assujetties à glisser sans frottement sur des courbes ou des surfaces fixes données, prend une position d’équilibre qui est, parmi toutes les positions que peut prendre la chaînette, celle qui rend la hauteur du centre de gravité maximum ou minimum. Par exemple, de toutes les courbes homogènes de longueur donnée l passant par 'deux points fixes, celle dont le centre de gravité est le plus bas est la chaînette précédemment déterminée (n°139). On en conclut que si, dans un plan, on prend un axe fixe Ox et deux points fixes A, B, de toutes les courbes de longueur l situées dans le plan et passant par les deux points, celle qui, en tournant autour de Ox, engendre l’aire minimum estime chaînette; on le A^érifie d’après le théorème de Guldin, car l’aire engendrée étant /.2ttGG' atteint son minimum en même temps que GG'. On peut laisser de côté la condition relative à la longueur et retrouver ainsi, du moins en partie, un

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résultat déjà obtenu. Parmi toutes les courbes situées dans le plan et passant par AB, celle qui engendre l’aire minimum est une certaine chaînette ; en effet, soit G cette courbe : elle est, en particulier, parmi toutes les courbes de même longueur qu’elle, celle qui engendre l’aire minimum ; c’est donc bien une chaînette ayant sa base parallèle à Oû7. Il restera à choisir, parmi toutes ces chaînettes en nombre infini, celle qui donne l’aire minimum; c’est, comme nous l’avons vu (n"148, Ex. I), celle qui a 0.t pour base.

3° Position d’ équilibre d’an solide pesant limité par une surface courbe et reposant sur un plan horizontal fixe. — Cette question est traitée en détail dans le troisième Volume (Ghap. XXXI, ^ IV).

175. Principe de Torricelli. — Nous venons de voir, comme une conséquence du principe des vitesses virtuelles, que, pour obtenir les positions d’équilibre d’un système pesant, il suffit d’égaler à zéro la variation de la hauteur du centre de gravité. Lagrange a fait la remarque importante que si, avec Torricelli, on admet comme un principe évident cette condition d’équilibre d’un système pesant, le principe des vitesses virtuelles en résulte dans toute sa généralité {Mécanique analytique, Section I et Section III, § V). Soit, en effet, un système de points Mi, M2, ..., assujettis à des liaisons données et sollicités par des forces données Fi, F2, ..., F, J {fig. 1 18). Considérons une position déterminée du système dans

Fig. 118.

laquelle les points occupent des positions m-2, ..., les forces ayant les valeurs fx, ..., /«. Sur la direction de imaginons un point fixe C>v à une distance mvOv = /’v. Si l’on déplace infiniment peu le système à partir de la position déterminée considérée, mv viendra en rn^, et le travail virtuel de /v sera — car on a évidemment ( n“ 84, Ex. III)

S/’v ~ — mym'^ cos(yv,

La somme des travaux virtuels des forces fy est donc G ^ — X/v hry.

Il s’agit de prouver que la condition nécessaire et suffisante pour que la position particulière considérée soit une position d’équilibre est ^ — O.

Pour cela, remarquons que nous pouvons remplacer l’action de la force fy par la tension d’un fil inextensible, attaché en my, passant sur une

poulie infiniment petite Ov et supportant un poids tenseur égal à Si nous faisons cette opération pour chaque force /v, nous remplaçons le système proposé par un système pesant, le système primitif ne servant plus qu’à établir des liaisons entre les poids />v Le système pesant sera en équilibre ou non dans cette même position. Or, pour que le système pesant soit en équilibre, il faut et il suffit que la variation de l’ordonnée du centre de gravité des poids py soit nulle; cette variation est donnée par

P SÇ = /?1 H- /?2 ^-22 -I- . . . + p,i

l’axe des ^ étant vertical vers le bas, P désignant le poids total et zi, ^2, •••, ^«les coordonnées des centres de gravité des poids pi^ p-2^

Il est évident que hzy est égal à — 8/\, car le fil rriyOypy a une longueur constante; on a donc

P 8Ç = — S/>v orv = — S/v = ÎB,

puisque py est égal à fy. Pour que le système primitif soit en équilibre, il faut et il suffit que = o, c’est-à-dire que S = o, pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons, ce qui est le principe des vitesses virtuelles dans sa généralité.

Remarque. — Si l’on plaçait le système matériel avec les fils et les poids /?i, />2 • - • t Pn dans une position quelconque Mi, M2, . . . , M„ autre que la position particulière considérée, les forces données seraient Fj, F2, ..., F^i et les tensions des cordons Mi Oi, M2O2, ... seraient des forces /?i, />2î •••? Pu entièrement différentes en grandeur, direction et sens de Fi, F2, ..., F/^. Ce n’est que dans la position particulière considérée/ni, /n2, ..., mn que les forces données fy deviennent égales aux tensions, de sorte que, si cette position est une position d’équilibre du système sous l’action des forces données, elle l’est aussi sous l’action des tensions. Mais comme déjà, dans la position infiniment voisine de mi, ..., /n„, les forces Fv sont différentes des tensions, il peut arriver que cette position d’équilibre soit une position d’équilibre stable du système sous l’action des forces données Fy, instable sous l’action des poids py.

On trouvera dans les Exercices (n° 6) quelques propriétés d’une position d’équilibre d’un système analogues à celle que nous venons d’exposer en détail, notamment une propriété due à Gauss et à Môbius sur le minimum de la somme des carrés des distances.