V. - THÉORÈMES GÉNÉRAUX DÉDUITS DU PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES
180. Les liaisons permettent une translation d’ensemble du système parallèle à un axe. — Supposons que les liaisons permettenl une translation d’ensemble de tout Je système parallèlement à un axe que nous prendrons pour axe 0.r. Dans l’équation générale de la Statique apfiliquée au système
( X.V -t- Syv Û-S7 ) — O J
on pourra, en considérant ce déplacement particulier, supposer
ôjKv = O, o^v = O, ùXi = 0X2 — .. . . = oXfi ;
ce qui donne, en mettant en l’acleur cette valeur commune des S.Tv,
Pour l’équilibre du système, il faut donc alors que la somme des projections, sur l’axe considéré 0.^r, des forces directement applicjuées soit nulle.
181. Les liaisons permettent une rotation d’ensemble du système autour d’un axe. — Supposons que les liaisons permettent une rotation d’ensemble de tout le système autour d’un axe Cjue nous prendrons pour axe 0^. On a, en appelant /\ et 9v les coordonnées polaires de la projection du point .Xy, Zy sur le plan xOy^
Xy= l'y yv=Cvsin6v;
pour imprimer au système le déplacement considéré, il faut laisser t'y et Zy constants et faire varier tous les angles polaires Qv d’une même quantité ô9 ; on a ainsi, pour o^Tv, ^y^, ^Zy, les valeurs
oxy = — Cvsin6vô6= — JKv 0^5 = ô-Zv = o.
La somme des travaux virtuels des forces directement appliquées est, pour ce déplacement particulier,
( Xv OXy + Yy oy V -h Zv OZy ) = 06 ( Xy Y.; y y Xv ) ;
elle est donc égale au jiroduit de BB par la somme N des moments des forces dii-ectement appliquées par rapport à Taxe considéré. Pour l’équilibre, il faut que cette somme N soit nulle.
On voit que la notion du moment par rapport à un axe s’introduit ainsi de la manière la plus naturelle.
182. Les liaisons permettent un déplacement hélicoïdal de tout le système. — Prenons pour axe Oz l’axe du mouvement hélicoïdal : soient 89 l’angle infiniment petit dont le système tourne autour de O^, et 8^ la quantité dont il glisse le long de ; posons 85= J^^9; y sera ce que nous avons appelé la flèche du mouvement hélicoïdal ou du mouvement de torsion. Le déplacement infiniment petit de chaque point du système étant la somme géométrique du déplacement dû à la rotation et du déplacement dû au glissement, la somme des travaux virtuels des forces directement appliquées est la somme des travaux qui seraient dus aux deux déplacements envisagés séparément; on a donc, pour cette somme,
^ 862(^vYv— 7vXv) = 86(Nh-/Z),
N désignant la somme des moments par rapport à l’axe Oz et Z la somme des projections sut O^. Pour l’équilibre, il faut donc
Remarque. — On retrouve, dans l’expression de le moment relatif de deux systèmes de vecteurs, l’un formé par les forces directement a|)pliquées, l’autre ayant pour axe central l’axe du mouvement hélicoïdal, pour résultante générale 89 et pour moment minimum 8s — y89 (n° 28).
183. Application aux conditions d’équilibre d’un solide. — Dans le Tableau qui suit, nous appelons X, Y, Z, L, M, N les projections sur les axes de la résultante générale et du moment résultant des forces directement appliquées à un corps solide par rapport à l’origine O.
Nous indiquons de plus le nombre des degrés de liberté d’un corps solide assujetti aux diverses liaisons considérées. Pour un corps solide libre, ce nombre est six ; car la position d’un solide
