CHAPITRE VIII
PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES
c’est-à-dire, en intégrant et remarquant que ùz s’annule avec 5,
dx d ^x dz ds
^ d oy\ dz ds }
ds.
Mais il faut encore que cette valeur de 0^ s’annule à l’autre extrémité s — l] Sa; et doivent donc remplir la condition
JÇ^ / dx d^x . \dz ds
d Sjk\ dz ds J
ds = O.
Il faut alors exprimer que S est nul pour toutes les fonctions Sa?, Sjk, S2 s’annulant aux limites et vérifiant les conditions (2) et (3). Désignons alors par X une fonction pour le moment quelconque de l’arc s et par k une constante; nous aurons
=jf {X^x-\-\Zy-^Zhz)ds^'k(^^dZx-^^d^y^ ~ dlz
ds
ds
En intégrant les derniers termes par parties et faisant T : on peut écrire, comme la partie intégrée est nulle aux limites,
Sa;
Pour qu’il y ait équilibre, il faut et il suffit que cette expression © soit nulle, quelles que soient les fonctions Sa;, ^y et X de s. Disposons de X de façon à annuler le coefficient de S^ : l’expression restante devra être nulle quelles que soient les fonctions Sa?, Sj^ dans l’intervalle o,l] pour cela il faut évidemment que les coefficients de Sa? et Sjk soient nuis aussi, (de raisonnement est analogue à celui qui a été fait n" 177.) On a donc les conditions d’équilibre
xds + d(r^£)=o, Yds^d(r±)=o, zds^d(r^)=o,
<jui sont identiques à celles qu’on a établies directement.
Cas particuliers. — Supposons que X, Y,Z soient les dérivées partielles par rapport à a?, j, z d’une fonction de x, y, ^ et 5, U (a?, je, s),
^ àV ^ àU 7 dU A. - I. 18
On a alors
DEUXIÈME PALITIE. — STATIQUE.
— f (X o.r ~h Y oy Z oz) ds = ù f \]{x,y^ z, s) ds\ dn J c\
la position d’équilibre s’obtient donc en cherchant les fonctions x, y^ z de rendant maximum ou minimum l’intégrale
\] (x^y, Z, s) ds,
sous la condition (i). Par exemple, pour un fil hétérogène pesant, le poids de l’élément ds est de la forme g'o(s)ds] alors, l’axe des ^ étant vertical vers le haut, on a '
U =— s^zo(s),
et la position d’équilibre rend maximum ou minimum l’intégrale
c’est-à-dire la hauteur du centre de gravité.
On a, en général, pour déterminer la tension, l’équation
dT -4- X dx H- Y dy -f- Z = o,
qui devient, dans l’hypothèse actuelle.
dU , dU , dT H — — dx -i — — dy dx dy
or, quand s croît de ds^ on a
— - dz — O]
d\j = — — dx 4- — — dy dx dy
d’où
dT 4- dü
ds
dU ^ dU ^
~ dz-\ — ds^
dz ds
ds = O.
Lorsque U est indépendant de s, on trouve donc
comme nous l’avons vu précédemment n° 137. Dans ce cas particulier, U indépendant des, la théorie que nous venons de développer permet de retrouver les résultats obtenus directement dans le paragraphe IJl du Chapitre VII; ces résultats se trouvent ainsi rattachés au principe des vitesses virtuelles.
PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES
