CHAPITRE VIII. — PRINCIIJE DES VITESSES VIRTUELLES

il faut que, pour tous ces déplacements, le travail de la force donnée mg oz soit négatif ou nul. Or, étant nul, l’expression (12) de devient

^ (a — û7) SX — a; ou

az — ex

et cette expression doit être négative ou nulle quand SX et 8p. sont négatifs ou nuis.

Or, pour la position A, az — ex est négatif, a — x est négatif et x positif ; donc 02 est négatif pour les déplacements d’inégalité et la position A convient.

Pour la position A', az — ca?, a — x et x sont positifs; Sz n’est pas négatif pour toutes les valeurs négatives ou nulles de SX et Sjjt. : par exemple, en faisant SX = o et SX < o, on trouve S.s positif; la position A' ne convient pas. Ce fait est évident, car le point m étant posé sur la surface du cylindre en A' tombera évidemment.

Deuxième cas. — Supposons maintenant x — a \ la deuxième des équations de liaison (8) donne alors

ce qui montre que les positions cherchées sont sur la génératrice la plus haute Z = c — R ou la plus basse z = c -t- R du cylindre. D’après la première équation (8), elles sont à l’intersection de ces génératrices et de la sphère décrite de O comme centre avec l comme rayon. Cette sphère coupe la génératrice supérieure B(.s = c — R) en deux points symétriques par rapport au plan des zx, E et E'; elle ne coupe pas la génératrice inférieure (.s = c -h R). Voyons si l’une de ces positions E ou E' convient. Les coordonnées d’une de ces positions sont

(i4) X = a., JK^o, z = c — R.

J1 faut, pour que cette position convienne, qu’on ait

mg Sz^o

pour tous les déplacements d’inégalité.

Or, la valeur (12) de Sz est actuellement, d’après les coordonnées (i4) de la position considérée,

az — ex R

Tous les déplacements d’inégalité

donnent pour 8.5 une valeur négative ou nulle; les deux positions E et E' conviennent donc.

On pourra, comme exercice, employer pour ce problème la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Les positions d’équilibre seront données par les relations

O H-Xia? — — a) = O,

O -h XijK = O,

mg — X^{z — c) =o

avec Xj et X, négatifs ou nuis.

Remarque. — Nous avons trouvé ainsi, conformément à la méthode générale, les positions d’équilibre pour lesquelles les deux liaisons sont réalisées, c’est-à-dire les deux équations de liaison (8) satisfaites.

187. Liaisons exprimées par des inégalités de forme finie. — Dans les numéros précédents nous avons supposé les liaisons exprimées par des égalités; mais nous avons supposé les liaisons réalisées de telle façon que les déplacements compatibles avec les liaisons soient exprimés par des inégalités. Nous avons montré comment on peut trouver les positions d’équilibre dans lesquelles toutes les liaisons sont réalisées.

On pourrait poser un problème plus général, de la façon suivante ;

Imaginons des points assujettis à des liaisons dont les unes s’expriment par g relations d’égalité en termes finis

i fl

^Tiiyri') ^n) — D,

et les autres

par h — g relations d’inégalité

en termes finis

/ (^1, JKi, ^1, ^2, JKa, -^2, ••

IIA

1 /^+2(^i,.ri5 ^1, • •

\ fh -51, ..

■,Xn,yn, Zn)%0.

Le problème de trouver toutes les positions d’équilibre du système, sous l’action de forces données, se décompose alors en plusieurs autres de la nature de ceux que nous venons de traiter.

Nous dirons, pour abréger, que la liaison fg+\ est réalisée quand le système est dans une position où la fonction

jyi, ^1, . . . , j

est nulle; la liaison fg-^\ n’est pas réalisée quand le système est dans une position où cette fonction vérifie \ inégalité de liaison (i6)

fg+\ < O.

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

De même pour les autres liaisons

•••! fh-

Les diverses positions d’équilibre du système se classent alors comme il suit :

1" Il pourra d’abord exister des positions d’équilibre dans lesquelles toutes les liaisons 4-2, . . . , /'a sont réalisées, les déplacements compatibles avec les liaisons laissant les fonctions ‘ fg nulles et les

fonctions fg^^^ ■ > fh nulles ou négatives. Dans ces conditions, un

déplacement compatible avec les liaisons vérifie les g égalités

ô/i = 0, 0/2=0, ^fg=^

et les h — g inégalités

ô/^+i ^ O, 0/^+2 ^ O, . . . , of,i<o.

Les positions d’équilibre de cette nature sont précisément celles que fournit la méthode du n° 184.

2° Il pourra ensuite exister des positions d’équilibre dans lesquelles une des liaisons (16) n’est pas léalisée, les autres l’étant. Par exemple, on pourra chercher des positions dans lesquelles

fg+\ <C O,

avec

( * 7 ) fg+^ — • • • 7 fh = O-

On aura encore un problème comme celui du n" 184, dans lequel les liaisons réalisées sont les' liaisons (i5) et les liaisons (17), les déplacements compatibles vérifiant les égalités

et les inégalités

eo*

ofg^Z^ 0, . . . ,

Mais, parmi les positions d’équilibre de ce seulement celles qui vérifient la condition

système, il faudra prendre

fg+\ < O-

3*^ Il pourra de même exister des positions 2, 3 ou, en général,/» des liaisons (16) ne sont

d’équilibre dans lesquelles pas réalisées, par exemple,

Jg+% <0, • • • ,

les autres étant réalisées.

(^9) fg-\-p+\ — ^)

fg-vp-v^ ~ 0,

Les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons vérifient les égalités (i5) et les inégalités

(20) 8y^+p(2^o, ..., sy/i^o.

On trouvera ces positions par la méthode du n° 184, sans se préoccuper d’abord des conditions (18). Parmi les positions trouvées, il ne faudra conserver que celles qui vérifient les inégalités (18).

4° Enfin, il pourra exister des positions d’équilibre dans lesquelles aucune des liaisons y^+i, y^+2, f h n’est réalisée. On les trouvera en cherchant les positions d’équilibre du système assujetti aux seules liaisons (i5). Mais il ne faudra conserver, parmi les positions trouvées, que celles qui vérifient les inégalités

y^-M O, y^+2 <C • • • > fh O*

Exemple. — Ainsi, dans l’exemple du numéro précédent, nous avons trouvé les positions d’équilibre du point m, en supposant le fil tendu et le point m sur la surface extérieure du cylindre, c’est-à-dire en supposant réalisées les deux liaisons

{x — — cY — R2 = o.

On pourrait chercher plus généralement les positions pour lesquelles

{x — aY^{z — c)2— R2>o.

Alors, on aurait d’abord à prendre les deux signes =, ce qui donne les positions déjà trouvées.

Puis on aurait à chercher les positions dans lesquelles

{x — aY~^{z — c)2— R2= O,

c’est-à-dire dans lesquelles le fil n’est pas tendu, mais le point sur le cylindre; on trouverait, comme positions possibles, tous les points de la génératrice B situés entre les positions trouvées plus haut E et E'.

On aurait de même à chercher les positions dans lesquelles

{x — a)2-f- (ij — c)2— R2^o;

le fil est alors tendu, mais le point hors du cylindre. On trouverait évidemment la position d’équilibre du fil à plomb.

Enfin, il resterait à chercher les positions pour lesquelles

x’^ z^ — Oj (a? — a )2 H- (.s — c )2 — R2 > O ;

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUEI-LES