CHAPITRE VIII

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

La trace du cylindre fixe sur le plan des xz est un cercle de rayon K que nous supposerons situé tout entier dans l’angle xOz. Nous appellerons <2 et c les coordonnées du centre G de ce cercle; nous désignerons

Fig. 119.

par B le point le plus haut du cercle et nous supposerons la longueur l du fil comprise entre OB et la longueur de la tangente menée de O au cercle : de cette façon, le fil étant tendu, le point m peut reposer sur la surface extérieure du cylindre.

Les deux liaisons étant supposées réalisées, on a

Les déplacements virtuels compatibles avec la première liaison sont ceux qui laissent invariable ou font diminuer la distance Om, et ceux qui sont compatibles avec la deuxième sont ceux qui laissent invariable ou font augmenter la distance du point mà l’axe du cylindre :

ou, en développant et changeant les signes pour la deuxième inégalité,

j X ox oy -h Z ( — (x — a) Bx — (z — c)Bz^o.

La seule force donnée étant le poids mg, il faut et il suffît pour l’équilibre que, les conditions (8) étant réalisées, on ait

(10) mgBz^o

pour tous les déplacements (9).

Pour simplifier le calcul, nous emploierons une méthode qui peut évidemment être étendue au cas général. Prenons comme variables auxiliaires

les premiers membres des relations d’inégalité (9), en posant

X Zx -f-jK H- .s 3-z = SX,

— {x — a) 8x — (z — c) Bz = 8p,

8X et 8p étant deux quantités infiniment petites arbitraires. En résolvant ces deux équations par rapport à dx et Bz, nous avons

/ (c — .s) oX — Z ôjj. — (c — z)j

) ex — az

1 ^ (g— a;) SX — a7 8p - (g — a?)jKSj

l az — ex

Pour obtenir le déplacement le plus général compatible avec les liaisons, on pourra prendre 8jk, SX et ôp arbitrairement sous les conditions

(i3) 8X^0, SpSo,

qui sont les conditions (9) écrites avec les nouvelles variables. Pour qu’il y ait équilibre, il faut, d’après (10), que mgBz ou 8s soit négatif ou nul pour tous ces déplacements.

Prenons d’abord les déplaeements d’égalité oX = o, 8p = o; pour qu’il y ait équilibre, il faut que mgBz^ c’est-à-dire Bz, soit nul pour tous ces déplacements. Or, si SX et 8p sont nuis, l’expression (19) de 8s devient

— (a — x)y ojK.

az — ex ’

pour qu’elle soit nulle quel que soit Bjr, il faut et il suffit que

Cette condition nécessaire de l’équilibre se décompose en deux, suivant que le facteur^ ou le facteur (a — x) est nul. Examinons successivement ces deux cas.

Premier eas : y = o. — En faisant y — o dans les équations de liaison (8), on a deux 'dations,

{x — aY-\-{z — cj2=

qui donnent deux positions d’équilibre, les points A et A' intersections du cercle de base du cylindre avec le cercle situé dans le plan des xz et décrit de O comme centre avec l comme rayon. Appelons x^ y. z les coordonnées d’une de ces deux positions : pour voir si elle convient, donnons au point m, à partir de cette position, des déplacements d’inégalité, c’està-dire tels que