AM

c’est-à-dire zéro, car, l’élément ds du fil sans masse qui se trouve en A étant en équilibre sous l’action des deux tensions aux exti’érnités de cet élément et de la réaction normale de la courbe, cette réaction est bissectrice de l’angle MAM'.

2. Vérifier le même fait si les deux points M et M' sont reliés par un fil sans masse glissant sans frottement sur une surface fixe S.

[Le fil se dispose suivant une partie rectiligne MA, puis sur la surface S suivant une ligne géodésique AA' et enfin suivant une partie rectiligne A'M'; la tension du fil atout le long du fil une même valeur T : ces propriétés tiennent à ce que, le fil étant sans masse, les forces qui lui sont appliquées se font équilibre. Appelant {a, b, c) et {a', b', c' ) les coordonnées des points A et A', on a

MA-i- arc AA' -h A' M' = const.

Si l’on imprime au système un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, on amène l’arc AA' en AjAj, et, en essayautde vérifier que la somme des travaux des tensions en M et M' est nulle, on arrive à la relation géométrique

6 arcAA'-i- AAj cosA, AA'-i- A' A'j cosA[ A' A — o,

exprimant une propriété des lignes géodésiques d’une surface. (Exercice à la fin du Chapitre précédent, dans le cas cp = i.)]

.3. Un disque, limité par une courbe C, se meut dans un plan : un fil sans masse attaché en un point M du contour C du disque est enroulé sur le disque, puis tendu jusqu’en un point M' du système où il est attaché. Vérifier que, pour un déplacement compatible avec cette liaison, la somme des travaux des forces de liaison est nulle.

(Il suffit de remarquer que la liaison rentre dans une des liaisons examinées dans le texte, car le point M' est assujetti à glisser sans frottement sur une des développantes de la courbe C; on peut aussi répéter le raisonnement du n° 162.

DRUXIÈME PARTIE.

STATIQUE

4. Equilibre du cric simple. — Machine formée d’un pignon de rayon a, que l’on fait tourner sur son axe au moyen d’une manivelle de longueur b\ ce pignon engrène avec une barre rigide dentée, de manière qu’en tournant sur son axe il oblige la barre à se mouvoir dans le sens de sa longueur; la puissance P est appliquée perpendiculairement à l’extrémité du rayon de la manivelle; la résistance s’oppose au mouvement de la barre. (Condition d’équilibre Pô — Ra ~ 0.)

5. Treuil différentiel. — Cette machine est formée de deux cylindres de même

axe invariablement liés entre eux, mais de rayons différents r et la corde, qui porte une poulie, s’enroule en sens contraire sur les deux cjdindres. La puissance P est appliquée perpendiculairement à une manivelle de rayon a; la résistance R est un poids suspendu à la poulie. [Condition d'équilibre 2 aP ) R.]

6. Principe du minimum de la somme des carrés des distances ( Mobius et

Gauss, Journal de Crelle, t. 4). — Soit un système de points M,, M2, ..., M„ sollicité par des forces Pj, Pj, ..., P„. Le système étant en équilibre dans les positions mj, ..., où les forces sont yOj, /?2, prenons, à partir du point mj,

sur la direction de la force une longueur //ijOj égale à à partir de /rij sur la direction de p.^. longueur m2 02 égaie à > •••5 k désignant une constante

différente de zéro. Considérant ensuite une position quelconque Mj, M2, ..., M„ du système, faisons agir sur les points M,, M2, ..., M„ des forces P^j, P'2, ..., P(, dirigées respectivement suivant les droites MjO,, M2O2, ..., M„0„ et égales à A’MjOj, A'M202, Â'M„0„. Sous l’action de ces nouvelles forces, le système est encore en équilibre dans la même position m.j, ^2, ..., /zi,,, car dans cette position spéciale les forces P'p P(j, ..., P(, coïncident avec p^, ..., />„. Comme le nouveau système de

forces P J, P'2, ..., P', dérive de la fonction des forces

U = — /c(m7Ô’i'-+- mTÔ^' + . . . + M„ 0„'),

on voit que la position d’équiljbre considérée rend cette fonction maximum ou minimum en général, et que, dans tous les cas, la variation de la fonction U s’annule pour cette position d’équilibre.

En appliquant ce théorème au cas le plus simple, on voit que, si un point m est en équilibre sous l’action de trois forces mOj, /WO2, m-Og, cette position d’équilibre est la position du point M pour laquelle la somme

MÏÏ^V MÔ'2 V MÔ’g'

est minimum, ce qui est une propriété bien connue du centre de gravité du triangle OjCjOg.

7. En général, considérons un système de points matériels Mj (a?,, jKp ), ^2(^2» JPî) ^2)) •'•1 ^„) assujettis à des liaisons données indépen-

dantes du temps et sollicités par des forces directement appliquées, le point Mj par des forces que nous supposons, pour simplifier, réduites à une force P,(Xj, Yj, Z^), le point M2 par une force P2(X2, Y2, Z2), .... Soit, pour ce système, une position d’équilibi’e déterminée dans laquelle les points Mj, M2, ..., M„ occupent des

CHAPiTun: VIII.

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

positions déterminées m2, ..., de coordonnées (a,,6j,c, ), b.^, c.^), ...,

(a„, 6„, c„), les forces correspondantes étant des forces déterminées p^, /?2, ..., />»„ de projections respectives (A,, Bj, Cj), ( Aj, B2, Cj), . • ., ( A„, B„, G„).

Formons une fonction U de jKp z^; y,,, dont les

dérivées partielles J 4—’ ^ prennent des valeurs A,, B,, C, (i = 1, 2, . . . , n) 0X1 oy- âz-

quand le système est dans la position d’équilibre considérée, c’est-à-dire quand les coordonnées Xi, y^, z^ ; x^, y^, z.^ ; ... ; x„, y„, .s,, prennent les valeurs a^, 6,, c, ; «25 ^-2, c-2', •••'5 c„. Le même système, sollicité par des forces Pj, P'2, ..., P'„

dérivant de la fonction des forces U, sera encore en équilibre dans la même position /rip m^, ..., m„, car, dans cette position, les forces P', Pj. ..., P'„ coïncident avec Py, ..., /?„. Donc.la fonction U est en général maximum ou minimum pour cette position d’équilibre et, dans tous les cas, sa variation s’annule pour cette position.

8. Un double cône pesant formé parla réunion de deux cônes égaux accolés par la base est posé sur deux droites qui se rencontrent et sont également inclinées sur l’horizon, de façon que le centre de gravité du cône se trouve dans le plan vertical de la bissectrice de l’angle des deux droites. Condition d’équilibre (système pesant, = 0 ).

Géométriquement, il faut et il suffit que le plan passant par le centre de gravité et les deux points de contact du cône avec les droites soit vertical, ou encore que l’intersection des plans tangents aux deux cônes, aux points de contact, soit horizontale. {Voir la figure, t. II, Chap. XIX, § II.)

Analytiquement, m désignant le demi-angle aux sommets des cônes, a l’inclinaison du plan des deux droites sur l’horizon et [3 la moitié de l’angle des plans verticaux menés par ces deux droites, on a la condition tanga = tangmtangjB.

(H. Fleury, Annales de Mathématiques, i85'f.)

9. Comme application de ce fait, qu’on obtient l’équilibre d’un système pesant en écrivant que la variation de la hauteur G du centre de gravité est nulle, démontrer que la surface libre d’un liquide pesant en équilibre doit être horizontale. {Voyez t. III, Hydrostatique.)

10. Si les trois points m,, m.,, sont liés de telle façon que l’aire du triangle mym.^m^ soit constante et si trois forces P,, Pj, P, agissent sur ces points, il faut et il suffit pour l’équilibre que ces forces soient perpendiculaires et proportionnelles aux côiés opposés du triangle.

Si quatre points sont liés de telle façon que le volume du tétraèdre dont ils sont les sommets reste constant et si quatre forces agissent sur ces points, il faut et il suffit pour l’équilibre qu’elles soient perpendiculaires et proportionnelles aux faces opposées du tétraèdre. (C. Neumann.)

11. Dans un plan vertical, une barre homogène pesante OA est mobile autour d’une extrémité O qui est fixe : un fil est attaché en A, passe sur une poulie infiniment petite B située sur la verticale de O et porte à son extrémité un contrepoids Q glissant sans frottement sur une courbe C dans le même plan vertical.

Que doit être cette courbe pour que le .système soit en équilibre indifférent? (Pont-levis de Bélidor.)

[Il faut que le centre de gravité du système se déplace horizontalement : prenant B pour origine, on trouve une équation en coordonnées polaires de la

foi'rne — r(a + ô cos6) + c = 0. Ovale de Descartes; dans un cas particulier, c = O, limaçon de Pascal.]

12. Même question en supposant que la courbe C passe par B et que le fil, au lieu d’être tendu en ligne droite, soit tendu sur la courbe (cycloïde).

13. Position d’équilibre d’une barre homogène pesante de longueur 2a située dans un plan vertical, s’appuyant d’une part sur un point fixe O le long duquel elle peut glisser et d’autre part, par une extrémité A, contre un mur vertical.

(8!^ = O. Le point O étant à une distance b du mur, on trouve pour l’équilibre OA = \/ ab'\ quantité qui doit être inférieure à a.)

14. Une tige homogène pesante AB de longueur 2a repose, d’une part, sur le bord d’une demi-circonférence de diamètre 2 R horizontal et, d’autre part, sur le

fond de la demi-circpnférence par une extrémité. Équilibre, (u’inclinaison i de

la barre est donnée par 4Bcos^i — acosf — 2R=:o; pour la possibilité il faut

15. Dans un plan vertical on trace deux courbes fixes C et G' : deux points matériels pesants de masses m et m' glissent sans frottement sur ces courbes et sont rattachés l’un à l’autre par un fil inextensible et sans masse passant sur une poulie infiniment petite O. L’une de ces courbes étant donnée, que doit être l’autre pour que l’équilibre soit indifférent? Prenant un axe polaire horizontal, il faut et il suffit que

m O /n sin 6 + m' O ni' sin 6' — const.

16. On considère deux tiges pesantes homogènes égales AB et AC articulées en A et on les place tangentiellement à un cercle dans un plan vertical, de telle façon que le point A se trouve sur la verticale du centre. Position d’équilibre.

(^l étant la longueur des barres, a leur inclinaison sur l’horizon, R le rayon du cercle, on a tang^ a -t- tang a — =0; une position; est-elle stable

17. Un triangle isoscèle homogène pesant, dont les côtés égaux ont une longueur a et la hauteur la valeur h, est placé dans une sphère de façon que ses trois sommets reposent sur la surface sphérique. Positions d’équilibre ( Wrighley).

18. Un triangle équilatéral homogène pesant ABC se trouve dans un plan vertical : un de ses sommets A est assujetti à glisser sans frottement sur une droite verticale O a:, et le milieu M du côté AB est attaché à un point fixe O de cette droite par un fil inextensible et sans masse.

Positions d’équilibre. Stabilité. En appelant a l’angle de OM avec Oa?, on est

ramené à chercher le maximum ou le minimum de sin

19. Un disque elliptique homogène pesant, situé dans un plan vertical, est tangent à un axe horizontal sur lequel il peut glisser sans frottement : sur le contour du disque est enroulé un fil portant à son extrémité un poids donné. Positions d’équilibre du système. (On peut ramener le problème à celui-ci : mener à

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