CHAPITRE VIII
une ellipse une tangente et une normale parallèles telles que le rapport de leurs distances au centre soit donné.)
20. Une plaque homogène pesante, située dans un plan vertical ABGDE, a la
forme suivante : AB est une droite horizontale de longueur æ, BC une verticale de longueur b, CD une horizontale de longueur c, moindre que æ, DE un arc d’une courbe indéfinie inconnue F partant du point D et s’élevant au-dessus de CD, du côté du point A, enfin EA est une droite verticale. La plaque peut tourner librement autour du point B supposé fixe : elle est soumise à son poids et à une force horizontale donnée F appliquée en E. Quelle doit être la forme de la courbe F pour que l’équilibre ait lieu, quelle que soit la position de l’ordonnée limite EA, c’est-à-dire quelle que soit la valeur de x, b et c étant regardés comme constants? (Fuhrmatnn.)
En prenant des axes coordonnés d’origine D, l’un horizontal, l’autre vertical,
on trouve -t- 6 = ôe 2 pour équation de la courbe.
21. Trouver les courbes telles qu’une chaîne homogène pesante de longueur l glissant sur une de ces courbes soit en équilibre dans toutes les positions.
Réponse. — Si l’on prend un axe vertical Oz et si l’on désigne par f{s) une fonction périodique de période l, il faut et il suffit que la relation entre le .s d’un
point de la courbe et l’arc s soilz—f{s). Ainsi, on pourra prendre z — a sin ,
où k est un entier.
22. On donne une droite verticale OB, dirigée vers le haut, et deux tiges non pesantes BD et OC articulées en un point C situé entre B et D; la tige OC tourne autour du point O et l’extrémité B de BD glisse sans frottement sur la droite fixe OB. Au point D est suspendu un poids; trouver les positions d’équilibre. Dans quel cas l’équilibre est-il indifférent?
23. Six tiges égales homogènes pesantes, de poids />, sont articulées à leurs extrémités, de façon à former un hexagone situé dans un plan vertical ayant son côté supérieur AB horizontal et fixe, et les autres côtés symétriquement placés par rapport à la verticale du milieu de AB,
Quelle force verticale F faut-il appliquer au milieu du côté horizontal, opposé à AB, pour maintenir le système en équilibre? (F = 3/>.)
24. Corps solide avec 5 degrés de liberté. — La position d’un corps solide libre dans l’espace dépend de six paramètres ( n° 183). Si l’on établit une relation entre ces six paramètres, le corps n’a plus que cinq degrés de liberté et sa position dépend de cinq paramètres q.^, ..., q^. Le corps étant alors placé dans une position déterminée, démontrer que tous les déplacements virtuels compatibles avec la liaison imposée au corps sont assujettis à remplir la condition géométrique suivante : il existe une droite fixe D telle que la projection sur cette droite de la vitesse de translation imprimée à un point déterminé du corps soit dans un rapport constant avec la projection sur le même axe de la rotation instantanée imprimée au corps. (On remarque que les coordonnées x^, jKo, ^0 ^ point déterminé O du corps et les neuf cosinus des angles que font les arêtes Ox, Ojk, d’un trièdre trirectangle lié au corps avec des axes fixes O^XJ^, z^ (n°51) sont des fonctions des cinq paramètres q^. Supposant qu’on fasse subir à ces para-
mètres des variations arbitraires 8^5 pendant le temps 6^, les pro-
jections V®, V®, V® de la vitesse virtuelle du point O sur les axes Ox, z et les composantes p, q^ r de la rotation instantanée virtuelle suivant les mêmes axes
sont des fonctions linéaires et homogènes de ^^5 •••? L’élimination
ot ot ot
de ces cinq quantités arbitraires fournira entre les six quantités V®., V^, V®, P, q^ r une relation linéaire et homogène à coefficients fonctions de q^, q^.
L’interprétation de cette relation donne le théorème énoncé. (On trouve dans le Treatise of natural Philosophy, de Tait et Tho.mson, n° 201, la description d’un mécanisme permettant de réaliser ce genre de liaison.)
CHAPITRIÎ IX.
NOTIOX.S SU 15 LK FROTTE.MKNT.
