CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE

des forces vives,

Uo désignant la valeur de U au point Mo, valeur négative. Déterminons la position et la vitesse initiale par la condition •

pour cela, il suffit, par exemple, de prendre 2 2 2

La première inégalité donne pour Uq une limite supérieure u égale à ^ puis, la fonction U étant continue et s’annulant à l’origine, il existe un nombre positif £ assez petit pour que, la distance OMq étant moindre que £, — Uq soit moindre que^* A.lors, en

donnant au mobile, dans l’intérieur de S, une position initiale distante de O de moins de £ et une vitesse initiale moindre que

on satisfait à l’inégalité (2) et, par suite, d’après le théorème des forces vives (i), à l’inégalité

qui montre que le mobile ne peut pas sorlir de la surface S; en effet, si le mobile arrivait sur la surface, U -f- /? deviendrait négatif et la demi-force vive, qui est une quantité essentiellement positive, deviendrait moindre qu’une quantité négative; ce qui est absurde. Le théorème est donc démontré. Par exemple, si le point est attiré par O proportionnellement à la distance, O est une position d’équilibre stable (n° 90).

On peut, dans le mouvement obtenu, assigner une limite supérieure à la vitesse, car U étant négatif, d’après la formule (3),

est inférieur à p et^àl/— •

Réciproque, — Il est probable que la réciproque de ce théo-

rème est vraie. Si, en un point constituant une position d’équilibre

• 7' \ A' ■ ' dU d\] dU , .

isoLee, les derivees partielles ^ s annulent sans que, en ce

point, la fonction U soit maximum, l’équilibre correspondant est instable. Cette proposition a été démontrée rigoureusement dans des cas très étendus par M. Liapounoff {Joui'nal de Mathématiques de M. Jordan, 5® série, t. III, p. 8i ; 1897) Hada-

mard i^lbid., p. 364). Mais, si la position d’équilibre considérée n’est pas isolée, il peul arriver qu’elle soit stable sans que U soit maximum : c'est ce qu’a montré M. Palnlevé [Comptes rendus, t. GXXV, 1904) en donnant l’exemple

U = ^ sin ^ — 52^^

où l’origine des coordonnées est une position d’équilibre stable, sans que U soit maximum.

Remarque. — Lorsqu’un mobile sollicité par une force ne dérivant pas d'une fonction de forces est en équilibre dans une certaine position, on reconnaît si l’équilibre est stable ou non en étudiant le mouvement que prend le point quand on l’écarte infiniment peu de sa position d’équilibre et qu’on lui donne une vitesse infiniment petite.