CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE
h désignant la constante arbitraire — U(^07jKo5 ^o)î cette
constante se nomme constante des forces vives. D’après cette équation, la vitesse du mobile redevient la même chaque fois que U s) reprend la même valeur. Si U (^, y, est une fonc-
tion uniforme de .r, z. on peut dire que la vitesse du mobile redevient la même, quand le mobile revient sur la même surface de niveau ^)=:const. Quand la fonction U est à déter-
minations multiples, comme, par exemple, U (^,y, -s) = arc tang^>
la vitesse ne redevient pas nécessairement la même quand le point revient sur la même surface de niveau, car, sur une surface de niveau déterminée, U(^,y, z) et, par suite, le travail total prennent des valeurs différentes suivant le chemin suivi {Hoir n° 82).
206. Exemples. — i" Considérons un point pesant entièrement libre, mobile dans le vide. Si nous prenons un axe Oz vertical et dirigé vers le haut, la seule force appliquée au point est le poids dont les projections sont
X = O, Y = O, Z= — mp‘, le théorème des forces vives donne donc
a = — mg dz.^
équation dont le second membre est une différentielle totale exacte, ce qui montre, comme nous l’avons déjà plusieurs fois remarqué, que le poids dérive d’une fonction de forces. En intégrant, on a
Pn
; -= — g{Z ^o) OU p2=2( gZ-^r-h).
Celte équation montre que la vitesse reprend la même valeur numérique chaque fois que le mobile repasse à la même hauteur, c’est-à-dire revient sur la même surface de niveau; car ces surfaces sont actuellement des plans horizontaux.
Plus généralement, si le mobile était sollicité par une force verticale fonction de 2,
X = O, Y = o, Z = cp(.s),
on aurait
^{z)dz,
les surfaces de niveau seraient encore des plans horizontaux. Dans tous ces mouvements, la trajectoire serait plane (n° 202, ex.).
2° Considérons un point M attiré par un centre fixe O en raison inverse du carré de la distance. La force attractive aura une expression de la
forme J p. étant une constante et /• la distance OM. La valeur algébrique de cette force estimée dans le sens de OM est — et, d’après ce que nous avons vu dans le n'’ 84, le travail élémentaire de cette foree est — Le théorème des forces vives donne donc
Les surfaces de niveau sont les sphères = const. ; la vitesse reprend la
même valeur numérique à la même distanee du centre attractif O.
Plus généralement, si le point M est sollicité par une force eentrale fonction de dont la valeur algébrique estimée dans le sens OM est cp (r),. on a
cp(/') dr,
Les sùrfaces de niveau sont encore des sphères de centre O. Dans tous ce& mouvements, la trajectoire serait plane (n° 203, ex.).
3” Considérons un point pesant M attiré par un centre fixe A, en raison inverse du carré de la distance et repoussé par un centre fixe A' proportionnellement à la distance {Jig^ 129). Nous prendrons encore un axe Oz
Fig. 109.
vertical vers le haut, de sorte que le travail élémentaire du poids sera — dz; si nous appelons r la distance AM, la valeur algébrique de la
force attractive F, estimée positivement dans le sens AM, est — et son travail élémentaire — enfin, si nous appelons /‘'la distance
CHAPITRIi X.
— GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE
MA.', la valeur algébrique de la force répulsive F' proportionnelle à la distance est m p.'/’' et son travail élémentaire m \}.' r' dr' . D’après le théorème
des forces vives, la différentielle ^st égale au travail élémentaire de
la résultante des forces appliquées au point M, c’est-à-dire à la somme des travaux des composantes, et l’on a
rn\i , < j ,
d = — mg dz ^ dr m\x. r dr .
Le second membre de cette expression est une différentielle exacte et il existe une fonction des forces; c’est ce dont on était certain à l’avance, d’après les théorèmes établis dans le Chapitre IV. On a donc en intégrant, après avoir divisé par m.
La fonction des forces est encore ici une fonction uniforme et la vitesse redevient la même chaque fois que le mobile repasse sur la même surface de niveau
— gz -h - — h ^ = const.
Ces surfaces sont du sixième ordre; elles se réduisent au second si p est nul, c’est-à-dire si l’on supprime le centre attractif A.
207. Remarque sur Fintégrale des forces vives. — L’intégrale des forces vives
montre que le mobile ne peut pas sortir de la région de l’espace dans laquelle y, z)-\-h est positif, car le premier membre
est essentiellement positif. Quand cette région ne comprend pas tout l’espace, elle est, en général, limitée par la surface de niveau ayant pour équation
U(a7, y^z)-]rh^= o,
surface dont la nature dépend de la constante des forces vives, c’est-à-dire de la position initiale et de la grandeur, mais non de la direction de la vitesse. On cherchera, à titre d’exercice^ ce que sont ces surfaces pour les exemples traités ci-dessus.
Cette remarque évidente, dont on trouvera d’importantes applications dans des Mémoires de M. Hill {^Acta mathematica, t. Vlll), de M. Bohlin [Ibid., t. X), de M. Darwin [Ibid., t. XXI, et Math.
Annalen, t. LI), donne immédiatement le théorème de Lejeune- Dirichlet sur la stabilité de l’équilibre.
208. Stabilité de l’équilibre d’un point matériel libre. Démonstration de Lejeune-Dirichlet. — Soit un point libre M(^, y-, z') sollicité par des forces dont la résultante (X, Y, Z) dérive d’une fonction de forces z)
Les positions d’équilibre du point s’obtiennent en égalant à zéro X, Y, Z, c’est-à-dire en cherchant les maxima et minima de U. Si dans une position donnée O du point la fonction U est réellement maximum, V équilibre correspondant est stable. Prenons cette position O pour origine et supjiosons que la fonction U s’annule au point O, ce qui est toujours permis, car, la fonction U n’étant déterminée qu’à une constante additive près, on peut disposer de cette constante de façon que ü s’annule en un point donné. Pour préciser la notion du maximum, décrivons autour du point O une surface convexe S, par exemple une sphère de centre O ou un cube de centre O, dont les dimensions sont assez petites pour que, dans la surface S et sur la surface, la fonction \J{x,y, z) soit négative et non nulle, l’origine seule où la fonction devient nulle étant exceptée.
La surface S étant choisie aussi petite qu’on le veut, nous allons montrer qu’il existe deux nombres positifs £ et w possédant la propriété suivante : en plaçant le point mobile dans une position initiale distante de O de moins de £ et lui imprimant une vitesse initiale moindre que u, on obtient un mouvement dans lequel le mobile reste à V intérieur de la surface S. En effet, la fonction U est, sur la surface S, négative et différente de zéro; on peut donc assigner un nombre positif/) assez petit pour que, sur la surface S, on ait constamment
Donnons alors au point M une position initiale Mo(.27o, ^o) à
l’iatérieur de la surface S et imprimons-lui une vitesse initiale Vq. Dans le mouvement qui prend naissance, on a, d’après le théorème
