CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE

alors nulles, et I

[’on a

df^ “ ’

où l’on déduit

dz ,

a b représentant les projections de la vitesse initiale sur Oy et 0-5 ; mais, cette vitesse étant nulle ou parallèle à 0.z^, a et b sont nuis; les dérivées de y et .5 étant nulles, ces quantités sont constantes

JrzzJKo, 5=-So,

et le mobile se déplace sur une parallèle à Ox.

2“ Force centrale. — Si un mobile partant de Mq est sollicité par une force dont la direction passe constamment par un point fixe O, et si la vitesse initiale Vq est nulle ou dirigée suivant la droite OMo, le mobile reste sur la droite OMo. Ce résultat est encore évident par sjmétrie. On l’obtient analytiquement en prenant O comme origine et en remarquant que, d’après le théorème du n” 203, la loi des aires a lieu pour la projection du mouvement sur les trois plans de coordonnées. On a, par exeui|)le.

dy dx

dt dt

où C est le moment de la vitesse par rapport à 0-S. Mais, à l’instant initial, la vitesse est nulle ou passe par O ; son moment par rapport à O^ est nul et G = o. On a donc

dx dy

et en intégrant de l’instant initial à l’instant t "^0 Vo" ^0 JKo*

En projetant sur le plan yO-5, on trouve de même

yo ^0*

Le point reste donc sur la droite OMq.

3° Adjonction une résistance de milieu. — Les théorèmes précédents sont encore vrais, quand on ajoute aux forces considérées une résistance de milieu dirigée en sens contraire de la vitesse. C’est ce qui résulte encore de la symétrie \ c’est ce qu’on pourra vérifier analytiquement comme exercice.

Point assujetti à décrire une droite. — Enfin, on peut imaginer un point sollicité par des forces données et obligé de décrire une droite, comme un point lancé dans un* tube rectiligne fixe de section infiniment petite. Le tube exerce alors une réaction sur le point, mais la résultante de toutes les forces appliquées au point est dirigée suivant la droite, puisqu’elle est égale au produit de l’accélération par la masse.

210. Équation du mouvement rectiligne. Cas simples d^intégrabilité. — Plaçons-nous dans le cas particulier où le mouvement est rectiligne et prenons pour axe Ox la droite que décrit le mobile ; l’équation unique du mouvement s’écrira

dt-

Le cas le plus général est celui où X est à la fois fonction de de c et de ^ ; on aura, dans ce cas.

dt'^

car la valeur algébrique de c est^- C’est une équation différentielle du second ordre, qui permettra de calculer x en fonction de t. L’intégrale générale contiendra deux constantes arbitraires

On déterminera les constantes par les conditions initiales

a?0=/(^0, c, c'), Po =//(^o, c, c').

Il peut arriver que l’expression analytique de la force change suivant la position du mobile ou le sens de la vitesse. Un exemple de ce fait se rencontre dans l’exercice 4° du n° 211.