CHAPITRE I. — THEORIE DES VECTEURS

et dans Jes trois autres la somme des moments de ces vecteurs par le moment de leur résultante, ce qui revient à remplacer plusieurs termes de chaque somme par leur somme. Pour la même raison, la décomposition d’un vecteur en vecteurs concourants n’altère pas les six sommes.

On peut, à l’aide de ces opérations, chercher à remplacer un svstème de vecteurs (S) par un système équivalent plus simple.

20. Réduction à deux vecteurs. — Un système de vecteurs glissants peut être réduit, d’une infinité de manières, à deux vecteurs, dont l’un passe par un point arbitraire.

Nous ferons voir d’abord qu’un système P^, P2, ..., P// est équivalent à trois vecteurs appliqués en des points O, Oj , O2, pris à volonté, non en ligue droite i5).

Décomposons le vecteur Ai P< en trois dirigés respectivement suivant les droites OA^ , A4, O2 Aj , puis, déplaçant le point

d’application de chaque vecteur sur sa direction, transportons ces composantes, la première au point O, la deuxième au point O4, la troisième au point O2. Décomposons de même le vecteur A2P2 en trois dirigés suivant les droites OA2, O4 A2, O2 A2 et transpor-

Fig. i5.

tons ces composantes en O, O4, O2, et ainsi de suite. Les vecteurs appliqués en O ont une résultante R4 , les vecteurs appliqués en O4 ont une résultante R2J ^t de même les vecteurs appliqués en O2 ont une résultante R3. Le système des vecteurs proposés est ainsi remplacé par le système équivalent des trois vecteurs R4,R2,Rs, appliqués en trois points arbitraires O, O4, O2.

Nous avons décomposé le vecteur Pj en trois, dirigés suivant es droites OA, , O4 A, , O2 A, ; cette décomposition est possible

toutes les fois que le point A^ n’est pas situé dans le plan des trois points O, , O2 î car alors les trois droites forment un trièdre. Si le point A, était situé dans le plan 0 0i02, sans que le vecteur P^ y fût lui-même, on déplacerait le point d’application de ce vecteur sur sa direction, de manière à l’amener hors du plan. Si ce vecteur était situé dans le plan, on le décomposerait en deux vecteurs dirigés suivant les droites 0x4.,, O, A,.

Nous avons remplacé les vecteurs proposés par trois vecteurs

R,, R2, R3, appliqués en trois points arbitraires O, O,, O2. Voici comment on réduit ces trois vecteurs à deux. Soit OL 16)

la droite d’intersection du plan mené par le point Os et le vecteur R2 et du plan mené par le point O et le vecteur R3. Prenons un point O' arbitrairement sur cette droite. Le vecteur R2, situé dans le premier plan, peut être décomposé en deux vecteurs, dirigés suivant les droites 00,, O'O, ; nous transporterons ces deux composantes, l’une au point O, l’autre au point O^ De même, le vecteur R3, situé dans le second plan, peut être décomposé en deux, dirigés suivant les droites OO2, 0'02, et nous transporterons ces deux composantes, l’une en O, l’autre en O'. Nous avons maintenant trois vecteurs appliqués au point O, et deux appliqués en O'; les trois premiers ont une résultante F, les deux autres une résultante <ï>. De cette manière, le système des trois vecteurs R,,R2,R3, et par conséquent le système des vecteurs proposés, sont remplacés par le système équivalent des deux vecteurs F et <I>, dont l’un est appliqué au point O choisi arbitrairement.