CHAPITRE I

THEORIE DES VECTEURS

SI les deux vecteurs R2, R3 étaient situés dans un même plan avec le point O, on mènerait par le point O une droite quelconque OL dans ce plan.

Il J a une infinité de manières de réduire le système des vecteurs proposés à deux vecteurs. Nous remarquons d’abord que, sans déplacer les points d’application O et O' des deux vecteurs F et <I>, on peut faire varier ces deux vecteurs. Concevons, en effet, qu’on applique aux deux extrémités de la droite 00' deux vecteurs égaux et directement opposés /"et — f\ les deux vecteurs F ety, appliqués en O, donnent une résultante S; les deux vecteurs 0 et — y, appliqués en O', donnent une résultante S; le système des deux vecteurs F et <ï> est ainsi remplacé par le système équivalent des deux vecteurs S, S. La résultante S est située dans un plan déterminé, le plan mené par le point O et le vecteur <I>. Le point d’application O de la première résultante est un point arbitraire; laissant ce point O fixe, on peut déplacer le point O' à volonté sur la droite O'S et, par conséquent, dans le plan 00'<I>, à cause de la grandeur arbitraire de — f.

En général, les deux vecteurs F et <1>, équivalents à tous les vecteurs proposés, ne sont pas situés dans un même plan.

La résultante générale et le moment résultant du système primitif, par rapport à un point quelconque, sont égaux à la résultante générale et au moment résultant du système des deux vecteurs F

Fig .17.

et <ï> par rapport au même point (y <g. ly). Par exemple, si l’on prend un point A sur la direction de F, la résultante générale AR en A s’obtient en composant un vecteur AF' égal et parallèle à F

avec un vecteur A<ï>' égal et parallèle à <I> ; le moment résultant AG, par rapport au point A, est égal au moment de <[>, car celui de F est nul ; le vecteur AG est donc perpendiculaire au plan AO'<ï> et le point A est le fojer du plan (n° 17).

Donc, le fojer d’un plan passant par l’un des vecteurs F, se trouvant sur l’autre, ces vecteurs sont dirigés suivant deux droites conjuguées D et A.

Une droite s’appuyant à la fois sur les directions de F et <1> est évidemment une droite de moment nul; inversement, si une droite de moment nul rencontre la direction de F, elle rencontrera également celle de <ï>, à distance finie ou infinie, car, le moment de F étant nul par rapport à cette droite, celui de <ï> doit l’être aussi.

On démontrera, à titre d’exercice, qu’on peut toujours réduire les vecteurs d’un système à deux, dont l’un, F, est dirigé suivant une droite arbitraire D non parallèle à la résultante générale.

21. Signification géométrique de l’invariant LX h- MY + NZ. — Appelons X', Y', Z', L', M', N', X", Y", Z", L", M", N" les projeetions et les moments des deux vecteurs F et «i» équivalents au système proposé. On a

en se reportant à l’expression du moment relatif de deux vecteurs donnée plus haut (n° 11), on a donc

LX + MY-HNZ = (L'-h T/)(X'-h X")-^. . .= 6 vol.(F, «h), ce qui donne une signification remarquable de l’invariant

LX + MY + NZ.

Soient maintenant P,, P2, .. . , P„ les vecteurs primitifs du système proposé; on a les six relations

(1) X = S X;;:, L = EL/c, ...,

(2) L^.X/^H- M;;.Y/l:^- NytZ/f = O.

En vertu des relations (i) et de l’identité (2), on trouve aussi