VI. — VECTEUR POLAIRE; VECTEUR AXIAL

34. Nature de la symétrie d’un vecteur. — Les grandeurs représentées par des vecteurs peuvent présenter deux sortes de symétrie; à ce point de vue, elles se classent en vecteurs polaires et vecteurs axiaux.

Vecteur polaire. < — Un vecteur A, B, est dit polaire quand la grandeur physique qu’il représente est symétrique par rapport à tous les plans passant par A, B,, mais non par rapport à un plan perpendiculaire à A, B,. Par exemple, une vitesse, une accélération sont représentées par des vecteurs polaires. On peut dire que la symétrie d’un vecteur polaire A, B, est la même que celle d’un paraboloïde de révolution autour de A, B,. Le sens de l’orientation des axes, le sens choisi comme sens positif des rotations n’interviennent pas dans la définition d’un vecteur polaire.

Vecteur axial. — Un vecteur A, B, est axial quand la grandeur physique qu’il représente est symétrique, non seulement par rapport aux plans passant par A, B,, mais aussi par rapport à un plan perpendiculaire à A, B,, de telle façon que la symétrie de la

grandeur physique à représenter est la meme que celle d’un cylindre de révolution autour de A^ .

La définition d’un vecteur axial dépend ordinairement d’une convention sur le sens positif des rotations ou sur le sens attribué à certaines circulations. Par exemple, le moment vectoriel BG, d’un vecteur polaire glissant A, B,, par rapport à un point B, est un vecteur axial; en effet, l’être physique qu’il s’agit de représenter par le vecteur BG< est caractérisé : i" par le plan du point B et de la droite qui porte le vecteur A, Bi ; 2° par l’aire du triangle BA,B,. Or, ces deux éléments sont symétriques par rapportai! plan BA<B<. Le sens donné au vecieur BG< , par rapport à ce plan, est le résultat d’une convention sur le sens positif de rotation autour d’un axe; ce vecteur est donc axial. La représentation du moment par un vecteur a ainsi quelque chose d’imparfait, car on introduit, par le choix arbitraire du sens positif des rotations, une dissymétrie qui n’existe pas dans l’objet qu’il s’agit de représenter. On pourrai t éviter cette dissymétrie en convenant, par exemple, de représenter le moment du vecteur polaire A, B, par rapport au point B par un cercle décrit dans le plan BA<B<, de B comme centre, avec un rayon mesuré par le même nombre que le moment et sur le contour duquel on indiquerait, par une flèche, le sens dans lequel un point parcourant Ai B, tourne autour de B. Cette représentation mettrait en évidence les symétries du moment, mais elle serait moins commode, à d’autres points de vue, que la représentation usuelle du moment. De même, l’axe d’un couple de vecteurs polaires est un vecteur axial.

On vérifiera sans peine que le moment vectoriel B'G' d’un moment vectoriel BG<, par rapport à un point B', est un vecteur polaire. Pour cela, il suffira de vérifier que le vecteur B' G' est indépendant de toute convention faite sur le sens positif des rotations.

Ces considérations présentent de l’importance en Physique.

EXERCICES

1. Démontrer que la grandeur R du vecteur résultant de plusieurs vecteurs concourants Pj, P2, P„ est donnée par la formule suivante :

R2 = SP2 + 2SP.Pj coslC^fr,