CHAPITRE I. — THÉORIE DES VECTEURS

la première somme étant étendue à tous les vecteurs, la seconde, à toutes les combinaisons de ces vecteurs deux à deux.

2. Pour qu’un système de vecteurs soit équivalent à zéro, il faut et il suffit que le moment résultant soit nul par rapport à trois points non situés en ligne droite.

3. Dualité dans la théorie des vecteurs. — Soient une sphère imaginaire de

centre O, + 1 = o, et un vecteur Pj de projections X,, Yj, Zj et de mo-

ments L,, Mj, Nj ; sur la droite conjuguée de Pj par rapport à la sphère, prenons un vecteur P'^ de projections X'j = Lp Y'j = Mj, Z[ — N,, ce qui est possible, car la direction Lj, N, est normale au plan OPj. Démontrer qu’il y a réciprocité contre les vecteurs Pj et P'j, c’est-à-dire que Pj est dirigé suivant la droite conjuguée de Pj et que ses projections sont égales aux moments de P', X, = L( , Yi = M(, = ( transformation dualistique de M. Klein dans un cas particulier

signalé par M. Kœnigs).

4. D’après la transformation précédente, à un système ( S ) de vecteurs correspond un système (S'). Démontrer que le moment résultant de l’un par rapport à O est égal à la résultante générale de l’autre.

5. Si l’un des systèmes précédents (S), (S') se réduit à un couple, l’autre se réduit à un vecteur passant par l’origine et réciproquement.

6. Trouver les courbes gauches dont les tangentes sont des droites de moment nul. — En prenant pour axe des z l’axe central du système, l’équation différentielle de ces courbes est

f dz — xdy — ydx.^

f étant la flèche du torseur. Démontrer que les équations de la courbe la plus générale vérifiant cette équation peuvent s’écrire

2r=cp(9), ^ = v^/cp' (9 ) COS0, r = y^/cp' ( 9 ) sin9,

cp(9) désignant une fonction arbitraire de 9.

7. Démontrer que le plan osculateur à l’une des courbes de l’exercice précédent a son foyer au point d’osculation.

8. On peut d’une infinité de manières former des systèmes de deux vecteurs F et équivalents à un système de vecteurs donnés et tels que F <ï> soient rectangulaires. Démontrer que les droites F et <ï> forment un complexe du second ordre. On retrouve ce même complexe en cherchant le complexe formé par les moments résultants relatifs à tous les points de l’espace.

9. Si deux vecteurs F et <ï> sont équivalents à un système donné, leur perpendiculaire commune rencontre normalement l’axe central du système.

10. Soient plusieurs couples et le couple résultant : prouver que la projection, sur un plan quelconque, du parallélogramme construit sur les deux vecteurs du couple résultant, a une aire équivalente à la somme algébrique des aires des projections des parallélogrammes construits sur les vecteurs des couples composants.

11. Soient P', P", ..., P^**) des vecteurs formant un système équivalent à zéro, et JVJ', M", ..., M(*^) les moments respectifs d’un autre système S de^vecteurs par

rapport aux axes P', P", Démontrer la relation

On démontre d’abord le théorème pour un vecteur P du système S, en remarquant que la somme des moments des vecteurs P', P", P(*"), par rapport à P,

est nulle.

12. Coordonnées barycentriques de Mobius. — Soit un tétraèdre A1A2A3A4; on appelle coordonnées barycentriques d’un point M les valeurs algébriques Pj, P2, P3, P4 des quatre vecteurs parallèles qu’il faut appliquer aux sommets A,, A2, A3, A4, pour que le centre de ces vecteurs parallèles coïncide avec M. Démontrer que :

A chaque point M correspondent des valeurs de Pj, P2, P3, P4, déterminées à un facteur près. Dne équation linéaire et homogène en Pj, P2, P3, P4 représente un plan dont les distances aux quatre sommets sont proportionnelles aux coefficients de Pj, P2, P3, P4. Si ces coefficients sont égaux, l’équation représente le plan de l’infini. Une surface d’ordre rn est représentée par une équation homogène de degré m en Pl, P2, P3, P4-

13. Trouver le iorseur résultant de deux torseurs rectangulaires concourants.

Solution. — Prenons les droites qui portent ces torseurs pour axes des x et des jK, et une perpendiculaire à ces droites pour axe des .3. Soient X le vecteur, L le couple du torseur porté par 0^7, 'k la flèche {fig. 26); on aura L = XX. De

Fig. 26.

même, en désignant par M, Y, [x les quantités analogues pour le second torseur, on aura M = p, Y.

Soient R la résultante de X et Y, G de L et M. L’axe central du système total a pour équations

XX + .SY aY— .sX — .rY-t-rX X “ Y ~ O ’

11 est parallèle à OR, et rencontre 0.s en un point O', donné par