CHAPITRE IV. — TRAVAIL : FONCTION DE FORCES
car la relation
donne, par différentiation,
X dx + y dy z dz — r dr.
ii3
Comme F est supposé fonction de le travail élémentaire est la différentielle totale d’une fonction de r.
Les surfaces de niveau sont des sphères de centre O. Ainsi un mobile m étant attiré par un centre fixe O en raison inverse du carré de la distance, on a
où [J. est un coefficient positif, car la force étant dirigée dans le sens MO est négative. Alors
Dans cet exemple, le travail total de la force, quand le mobile passe d’une position Mq éloignée indéfiniment à une position Mi située à une distance j\ du centre attractif O, est
Les trois lois de forces précédentes sont des cas particuliers de celle-ci. Un point M est sollicité par une force qui est dirigée suivant une normale MP à une surface fixe S, et dont l’intensité est fonction de la longueur MP de cette normale. Il existe alors une fonction des forces dépendant uniquement de MP; les surfaces de niveau sont parallèles à S. C’est ce qu’on démontrera à titre d’exercice (Exercice 7).
4° Lorsqu’un point matériel est sollicité simultanément par plusieurs des lois de forces précédentes, il existe encore une fonction des forces: cela résulte du théorème suivant :
Si un mobile est soumis à un système de deux forces Fj, F2 qui donneraient lieu séparément à des fonctions de forces Ui, U2, U existe encore une fonction de forces égale à U1-+-U2.
Soient, en effet,
dU
dx
Il4 l’REMlÈRK PARTIE. — NOTIONS PRELIMINAIRES,
les projections de la première force et
dU
celles de la seconde; les projections de la résultante seront évidemment
d(Ui-f-U2) ^ d(U|-f-Ll2) rj d(Ui-i-U2)
“ dx ' “ ^ ~ di
ce qui démontre la proposition énoncée.
8S. Remarque sur les surfaces de niveau. — Si les surfaces de niveau sont seulement définies géométriquement et non par leur équation U = const., la loi de force n’est pas entièrement déterminée. Si, en effet, une certaine fonction V(x, y, z-) reste constante sur les surfaces de niveau, la fonction des forces sera nécessairement de la forme
U = cp(V)
et la loi de force sera
dV dV dV
la fonction q' étant arbitraire, nous arrivons à cette conclusion que, sur une même surface de niveau, la force n’est connue qu’à un facteur constant arbitraire près. Par exemple, le fait que les surfaces de niveau sont des sphères de même centre O apprend que la force passe par le point O et est fonction de la distance du mobile au point O.
86* Puissance. — La puissance d’une machine est la quantité de travail que cette machine fournit pendant l’unité de temps.
Unité de puissance, — Dans le système G. G. S., l’unité de puissance est Y erg-seconde. C’est la puissance d’une machine qui produit un travail d’un erg par seconde.
Cheval-vapeur . — Dans le système industriel, l’unité de puissance est le cheval-vapeur . C’est la puissance d’une machine qui produit un travail de ^5 kilogrammètres par seconde.
