CHAPITRE IV

TRAVAIL : FONCTION DE FORCES

Si l’on mène une surface de niveau S, infiniment voisine de S du côté où U va en croissant, cette surface S< coupe les normales telles que MN en des points tels que M<, et, comme U prend une valeur constante Ui sur cette surface S<, l’expression

^ r Ui-U

F = lim — — ,

MMi

dont le numérateur est constant pour toutes les positions du point M sur la surface S, montre que la force varie en raison inverse de la portion de normale à la surface de niveau S comprise entre cette surface et une surface de niveau infiniment voisine.

On peut alors se représenter approximativement la distribution des forces dans le champ considéré de la façon suivante : Soit t une quantité constante choisie d’autant plus petite qu’on désire une plus grande approximation. Construisons les surfaces de niveau

U=— s, V=—2B, ..., \]=—ke,

et numérotons ces surfaces o, i, 2, ..., /i, ..., — i, — 2, ..., — A", .... En un point M d’une quelconque S de ces surfaces numérotée /?, menons la normale du côté de la surface S| numérotée /> -H I et appelons M^ le point de rencontre de cette normale avec Si : la force en M est dirigée dans le sens MM< et a pour valeur approchée F =: »

84. Exemples. — 1° Il existe une fonction des forces pour une force perpendiculaire à un plan fixe et fonction de la distance du mobile à ce plan. En effet, prenons le plan pour plan des xy, la force étant parallèle à O^; X et Y sont nuis, et, de plus, Z est une fonction de f (-s)- Le travail élémentaire étant Z dz ou 9(2) dz est la différentielle totale de la fonction

Les surfaces de niveau sont des plans parallèles au plan des xy. Ainsi, la force étant le poids du point M, on a, en prenant l’axe des z vertical vers le haut,

Z = — U = — mg'z -f- const.

2" Il existe une fonction des forces pour une force dirigée suivant la per pendiculaire abaissée du' point M sur un axe fixe et fonction de la distance du point à cet axe. Prenons l’axe pour axe O^, appelons p la distance MQ

Fig. 5g.

du point M à l’axe et <ï> la valeur de la force estimée positivement dans le sens QM. Les projections de cette force étant

on a, pour le travail élémentaire, l’expression

X dœ -H Y dy -h Z dz = — {x dx -r- JK dy) = <ï> dçt,

car, p2 étant égal à x‘^-^y~^ p dp égale x dx y dy. Par hypothèse, <E> dépend uniquement de p : le travail élémentaire est donc la différentielle totale d’une fonction de p,

Les surfaces de niveau sont des cylindres de révolution autour de Oz.

3° Enfin il y a une fonction des forces pour une force dont la direction passe constamment par un point fixe O et qui est fonction de la seule distance du mobile à ce point. Prenons ce point O pour origine; soient la distance OM et F la valeur de la force estimée positivement dans le sens OM. Les projections de la force étant

le travail élémentaire a pour expression