X,j^/:T/t4- Y,it/y,i4- TjndZfi

Lorsque les forces dépendent seulement de la position du système, c’est-à-dire quand Xi, Yi, Z^, X2, Y2, Z2, ... sont des fonctions de y^^ x-2, ^27 • • -7 Yn-, et que l’expres-

sion (i) est une différentielle totale exacte d’une fonction U des coordonnées x^^ y , , , ^27 ^>^2? ^27 • • • 7 Y^i ^«7 en dit que les

forces (\onnées admettent une fonction des forces U ou dérivent ddin potentiel — P. On a alors

Quand le système passe d’une position Pq à une position P^, la somme des travaux totaux de toutes les forces F^, F2, ..., F,i est donnée par

/-(Pli ^(P.)

I (^\^dx [ -\-Y I dy dz[ -{-^2 dx2~\-^ody2 -{~7j2dz2-{~...-h7ijidz ,1) = I

fPo)

elle est done égale à la variation U, — Uq que subit la fonction U suivie par continuité quand le système [>asse de la première position à la deuxième.

Si la fonction U est une fonction uniforme des coordonnées, Uq et Ui ont des valeurs uniques: le travail total de toutes les forces,

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — NOTIONS PRÉLIMINAIRES.

G, est alors entièrement indépendant de la façon dont le système a passé d’une position à l’autre.

88. Exemples. — i° Soient deux points M, et Mg ; supposons que l’action de Ml sur Ma soit une force Fj dirigée suivant la droite MjMa; d’après le principe de l’égalité de l’action et de la réaction, l’action de Ma sur Mi est une force Fa égale et opposée {fig. 6o). L’ensemble de ces deux forces se

Fig. 6o.

Ma

4 Fa

nomme V action mutuelle des deux points; convenons d’appeler valeur algébrique F de Vaction mutuelle des deux points l’intensité commune des déux forces Fi et Fa précédée du signe -+- ou du signe — , suivant que les deux points se repoussent (comme dans la figure) ou s’attirent. On a

alors

pour les projections

de Fl

et Fa, en

appelant r la distance MiM

(Fl)

Xy

F.r2-ri

— JF2

Faisant la somme des travaux élémentaires de ces deux forces, somme qu’on appelle travail élémentaire de Vaction mutuelle F, on trouve

- \{^x.^ — xV){dx^^—dx{)-^r{y^—y{){dyt—dyV)-^{z^ — zV){dz^— dz^)],

expression qui se réduit à

V dr,

en vertu des relations évidentes

r2 = ( 272 — )2 + ( JK2 — JKl + (^52 — )^

rdr = {x^^ — x{){dx^^ — dxé) H- {y2-y\){dy^ — dy{)-\-{z<^ — Zi){dz^—dzé).

Si donc l’action mutuelle des deux points est une fonction de leur seule distance F = cp(;’), la somme des travaux élémentaires des deux forces Fi