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et F2 est la différentielle totale exacte de la fonction

U = y(/') dr.

Ainsi, pour deux points s’attirant proportionnellement à leurs masses nii et 7712 6t en raison inverse du carré de leur distance, on a F = —

f désignant une constante, d’où U const. Supposons les points

d’abord placés à une distance infinie l’un de l’autre, puis amenés à la distance 7’; le travail total sera la variation de la fonction U, quand on passe

de la première position à la seconde, c’est-à-dire f .

2" Soit maintenant un nombre quelconque de points Mi, M2, ..., :

supposons que deux quelconques de ces points M/ et M/^ exercent l’un sur l'autre une action mutuelle dont la valeur algébrique est fonction de la seule distance l'ik des deux points Si le système subit un dépla-

cement infiniment petit, la somme des travaux élémentaires de toutes ces actions mutuelles est, d’après ce qui précède,

^ F ikdr iff,

la somme étant étendue à toutes les combinaisons des indices i et k deux à deux, i étant différent de k. Cette somme est la différentielle totale d’une fonction

U = 2 ^ F î/q di'i/c

il existe donc une fonction des forces. Par exemple, pour un système de trois points de masses 7?ii, /?i2, 772.3, s’attirant deux à deux proportionnellement aux masses et en raison inverse du carré des distances, on a

d’où

mimjc

à une constante près. Cette valeur de U est le travail total des actions mutuelles quand les trois points, supposés d’abord infiniment éloignés les uns des autres, sont amenés dans leurs positions actuelles.

EXERCICES

1. Quelles sont les dimensions du travail par rapport aux unités fondamentales longueur, temps, masse? (Si l’on prend une unité de longueur fois plus petite^ de temps x fois plus petite, de masse [x fois plus petite, le travail S devient

2. Un point M est attiré ou repoussé par deux centres fixes O et Oj, en raison inverse des carrés des distances. Calculer la fonction des forces et étudier les surfaces de niveau,

ses extrémités en un point fixe O, puis est tiré de façon à acquérir une Ion-

revient de la longueur à la longueur naturelle l. On admet que, lorsque le fil a une longueur /•, sa tension T est proportionnelle à son allongement :

la forme 2/ux Al+ a/i-jtB, m et n entiers.) Si A et B sont incommensurables.

surface de l’enveloppe est p. Admettant que p est seulement fonction de c, démontrer que le travail total des pressions du gaz sur tous les éléments de l’enve^

face en éléments infiniment petits égaux z/a; sur chacun d’eux agit une pression normale pd<3\ quand le volume croit de v à v-\-dv^ d<s prend la position c/<t' ; si donc on désigne par s la projection du déplacement de d<s sur la normale à d's, le travail élémentaire de la pression p dx est pzd<s et l’ensemble des travaux

élémentaires des pressions est p J' : dz. Or s dz est le volume du cylindre dont les

bases opposées sont dz et dz' : z dz est donc l’accroissement de volume total, et l’ensemble des travaux élémentaires est p dv.

pX-T—^G.)

3. Un fil élastique, dont la longueur naturelle est /, est attaché par une de

gueur \ '>l\ calculer le travail produit par la tension du fil, quand ce dernier

Résultat ;