I. — POINT MATÉRIEL

89. Point libre. — Pour qu’un point libre M soit en équilibre, il faut et il suffit que la résultante R des forces qui lui sont appliquées soit nulle, c’est-à-dire que les trois projections X, Y, Z de R le soient :

Si, dans une position quelconque M(^,y, ^), on abandonne le point M sans vitesse initiale sous l’action de la résultante R, la valeur initiale de cette résultante ne dépend que de z el t]

nous supposerons qu’elle est indépendante de t. Alors les trois équations (i) déterminent les coordonnées des positions d’équilibre. Lorsqu’il existe une fonction des forces JJ (x, y, z), les projections Y, Z sont les dérivées partielles de U et les équations deviennent

dV dV éU

dx “ ây ~ dz “

Ce sont précisément les équations qu’on a à résoudre lorsqu’on cherche les maxima et les minima d'une fonction U de trois

variables inclépendanles z. Nous démontrerons en Dyna-

mique (Gliap. X), d’après Lejeune-Dirichlet, que, si la fonction U est réellement maximum en un point IVG (.Ti , jpi , ), ce point

est une position tV équilibre stable : cela signifie qu’en écartant infiniment peu, d’une manière arbitraire, le point matériel de la position M,, et lui donnant une vitesse initiale infiniment petite, on obtient un mouvement dans lequel le mobile s’écarte infiniment peu de M| .

On peut s’en rendre compte approximativement comme il suit. Supposons qu’en un point M|, U soit maximum et prenne une valeur U<. Dans le voisinage de M,, U est plus petit que U| et, [>ar suite, la surface de niveau

U=Ui-£,

où £ est positif et très petit, comprend une nappe fermée entourant et se réduisant par continuité au point 1M| quand £ tend vers zéro {fig> 6i, I) : en chaque point M de cette nappe, la force

Fig. 6i.

lui est normale et dirigée du côté des U croissants, c’est-à-dire vers V intérieur ; elle tend donc à empêcher le point de s’éloigner du point M^ .

Si, au contraire, en un point Mi, U atteint un minimum Ui, la surface de niveau

'U = Ui-h£ (£ positif)

comprend encore une nappe fermée entourant Mi ; mais, en chaque point M de cette nappe, la force est normale et dirigée vers V extérieur {Jî'g. 6i, II) : elle tend donc à écarter le point de Mi et la position Mi est instable.

Supposons, enfin, que les trois équations (2) soient satisfaites en un point Mi, mais que la valeur correspondante Ui ne soit ni un maximum ni un minimum pour U. Dans le voisinage de Mi