CHAPITRE V. — ÉQUILIBRE d’uN POINT; ÉQUILIBRE d’uN SVSTÉME

il existe alors deux régions A et B 6i, 111), telles que dans

l’une, A, U prenne des valeurs inférieures à U< et dans l’autre, B, des valeurs supérieures : ces deux régions sont séparées par une surface de niveau S sur laquelle

U - Ui = o.

Cette surface de niveau singulière h passe évidemment par le point M^ et elle a en ce point un point conique puisque, d’après les équations (2), les trois dérivées partielles du premier membre U — s’annulent en M^. En désignant par e une quantité positive infiniment petite, les surfaces

U =Ui-£

sont situées dans la région A et, dans cette région, les forces tendent à ramener le mobile du côté de M, ; les surfaces

U = Ui + £

sont dans la région B et, dans celte région, les forces tendent à écarter le mobile de M^ puisqu’elles sont dirigées du côté des U croissants. La position d’équilibre M, est alors instable.

Ce dernier cas se présente pour un point attiré par deux centres fixes en raison inverse du carré de la distance, cas étudié en détail au commencement du Chapitre relatif à l’attraction (T. III).

90. Exemple. Attractions proportionnelles aux distances. — Trouver les positions d’équilibre d’un point matériel attiré par des centres fixes proportionnellement aux distances et aux masses des centres d’attraction. Soient Pi, P2, . . . , Pn {fiS’ 62) les centres fixes et /?2i, ..., irin leurs

Fig. G2.

masses. Les forces d’attraction Fj, F2, .. ., F„ agissant sur le point matériel M seront dirigées suivant MPi, MP2, MP3, ..., MP/^; leurs grandeurs

respectives seront, y désignant une constante,

Soient ai, Ci, aa, 62, Ca, ..., a„, c„ les coordonnées des centres attractifs; a?, jy, z celles du point M. Les projections de la force F/^ sur les trois axes sont égales aux projections correspondantes du segment* MP^ multipliées parym^^ ; elles sont donc

fmjciaic— x), fm/c{bk—y), /m/,(c/,— ^).

Les projections de la résultante sont alors

(3) X =/2mÆ(a/,.— a?), Y — jk), Z =/S 7?ia(c/,— z),

Je signe 2 indiquant une somme étendue à toutes les forces, c’est-à-dire à toutes les valeurs /: = i, 2, . . ., n. En posant

P = 2 nik, = 2 mj^a/c, pr) = 2 mj^b/^, pC = 2

on peut écrire

Y=/p(r]— jk), Z=/p(Ç — z).

Considérons le point G ayant pour coordonnées t], on appelle ce point le centre de gravité du système de masses Pj, Pa, ..., P/^. Les équations ci-dessus montrent que la résultante des forces qui agissent sur M est la force qu’on obtiendrait en supposant le système des centres attractifs remplacé par le seul point G auquel on supposerait la masse p. La résultante est dirigée suivant MG, et sa valeur est ypMG. Il ne peut donc y avoir équilibre que si M se confond avec le centre de gravité G du système.

Dans ce qui précède, mi, ma, . . ., sont des nombres essentiellement positifs; admettons maintenant que ces nombres ne désignent plus des masses, mais seulement des coefficients, et supposons que certains d’entre eux sont négatifs. Cela revient à admettre que les forces correspondantes sont répulsives, car, les projections d’une de ces forces Fyt changeant de signe avec m/^, F/,- changera de sens quand mk deviendra négatif.

Lorsque p est différent de zéro, tous les calculs ci-dessus subsistent et l’on arrive aux mêmes résultats. Si p est nul, les trois équations (2) deviennent indépendantes de x^y^z^ la résultante des forces est constante en grandeur et en direction, et il n’y a pas de position d’équilibre. Enfin, si l’on a simultanément

p = O, lénika/c—o, 'Lmkbk=o, 2m/fC/i-= o,

X, Y, Z sontnulles quelles que soient x, y^ z \ par conséquent, le point M se trouve en équilibre dans une position quelconque.