DISPOSITION DE L'OPÉRATION
30 x 30 = le carré des dizaines.
30 x 5 = le produit des dizaines par les unités, 30 x 5 = d “ “6 6 x 5 = le carré des unités.
ou 302 + 2(30 x 5) + 52.
Je multiplie le multiplicande 30 + 5 par 30 et ensuite par 5. Le produit de 30 + 5 par 5 est (30 X 30) + (30 X 5) ; celui de 30 + 5 par 5 est (30 X 5)+ ue X 5). Les trois parties du total sont : 19 30 X 30 = 302 ; 20 2 X (30 X 5); 90 5 X 5 = 52; donc le carré, etc.
809. On appelle Racine Carrée d'un nombre, un second nombre qui, étant multiplié par lui-même, reproduit le premier,
Ainsi, les nombres : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ont our racine carrée 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
310. RèaLe G£éNÉRALE. I. Pour extraire la racine carrée d'un nombre, il faut d'abord le purtuger en tranches de deux chiffres
307. Qu'appelle-t-on Carré d’un nombre !— 308, De quos est composé le carre d'un nombre renfermant des dizaines et des unités ?— 309. Qu’'appelle-t-on Racine Carrée d’un nombref— 310, Quelle est la règle générale pour extraire 1 ra otme carrée d'un nombre?
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chacune, en allant de droite à gauche ; la dernière à gauche pourra n'en contenir qu'un; on examinera ensuile quel est le plus grand carré contenu dans cette tranche à qauche, dont on posera lu racine à droite; puis ayant soustrait son carré de cette même tranche, on mettra le reste dessous ; à côté de ce reste, on descendra la tranche suivante, et, de ce nombre, on séparera par un point le chiffre à dre‘te,
II. Pour avoir le second diviseur, on double la racine trouvée, ce qui est le double des dizaines ; on cherche combien ce double est contenu de fois duns les chiffres qui précèdent celui de la droite ; on écrit le quotient à droite de la racine; on écrit aussi ce même
quotient à côté du double des dizaines ; on multiplie chaque chiffre de ce diviseur pur le quotient, et le produit se soustrait du nombre dont on a pris la racine, de la manière qu’on le fait duns la division : on fuit autant d'opérations semblables qu'il y a de tranches dans le nombre dont on veut avoir lu racine.
811. Il doit y avoir à la racine autant de chiffres qu'il y a de tranches dans le nombre donné.
Ex. Soit à extraire la racine carrée de 4096.
OPÉRATION. ELucipariox. 1l est évident que le carré des dizaines 40.96 i 64 ne peut se trouver que dans les centaines : car 10 X Lu 7. 100 ; c’est pourquoi on a séparé 40 de 96 pour extraire 49,6 | —— la racine carrée de quarante qui est 6. Je carre 6 et 000 | 124 j'ai 36 que je retranche de 4 ; il reste 4 à côté duquel
j'écris l’autre tranche 46, et j'ai 496 ; or, ce reste contient 2 fois les dizaines multiplices par les unités, plus le carré des unités (No. 308) ; mais le double des aizaines muluipliées par les unités, ne peut donner moins que des dizaines (No. 51) ; ce produit est dune contenu dans 4ÿ : on en séare le dernier chitfre 6 par un point. Maintenant donc, pour avoir les unités, il ne s’agit plus que de «iviser 4ÿ par le double des dizaines, lequel égale 12; le quotient est 4. Di ce nombre égale effectivement les unités, il faut que de 496 on puisse retrancher le produit uu double des dizaines par 4, plus le carré de 4. Comme cette opération s'effectue exactement, on en conclut que 64 est la racine carrée exacte de 4096.
Si le nombre dont on veut avoir la racine a trois tranches, le carré des dizaines se trouve évidemment dans les centaines. Pour avoir la racine carrée de ces centaines, on calcule comme dans un nombre de deux tranches; et, pour obtenir jes unités, on rai- #onne comme dans l'exemple précédent,
Ex. On demande la racine carrée de 459643.
Éuvonamo. Pour faire ceite opé- N ration, après avoir séparé les chiffres LA ds 677 racine, par ttagohès, je cheroh quel est le À a plus grand carré contenu dans la pre- 10.743 |127 ler diviseur. mière tranche à gauche : c'est 36, dont 1.31.4 [1347 2e diviseur, la racine est 6, que j'écris à la droite
du nou bre, en les séparant par un trait;
DE j'ôte 36 de 45, reste 9, à côté duquel je
descends La tranche suivante, et j'ai 996, dont je sépare 6 par un point,
OPÉRATION
zaines 'XN xtraire rebet uquel e conunités donner en sénités, 12; le de 416 de 4.
raciue
ies, le Pour dans n rai-
te opéhiffres est le la pre- 6, Eont droite ntrait; quel je
Pour avuir le diviseur, je double la racine trouvée, fl vient 12; je dis : En 99 combien de fois 12 : je vois qu’il ne peut y être que 7, que j'écris à la racine, à droite du 6; je mets aussi ce 7 à côté du diviseur 12, et j'ai 127, que je multiplie par 7 ; ôtant le produit de 996, il ne reste que 107 ; je descends la tranche 43, et J'ai pour troisième membre 10743, dont je sépare le chitfre à droite; je forme le second diviseur en doub.ant la racine 67, et j'ai 134 par lequel je divise les quatre chiffres 1074; il vient 7 pour quotient; j'écris 7 à la racine et à la suite du diviseur 134, ce qui donne 1347, Multipliant par 7, je retranche le produit de 10743 ; il reste 1314; de sorte qie la racine carrée de 49643 est 617 aveo 1314 de reste, parce que le nombre dr * né n’est pas un carré partait.
Si, après avoir fait la division, il restait un nombre qui égaulât deux fois plus 1 celui qui est la racine, ce serait une preuve que le dernier chiffre qu’on y à mis est trop faible.
312. La Preuve de cctte règle se fait en multipliant la racine trouvée par elle-même et ajoutant le reste au produit. Le total doit égaler le nombre dont on extrait la racine.
Ainsi, pour l'exemple précédent, en multipliant 677 par lui-même et ajoutant le reste 1314 au résul'at, on reproduit le nombre 459643.
313. Si du reste on voulait tirer des décimales, il faudrait ajouter à ce reste autant de fois deux zéros qu'on voudrait avoir de chiffres décimaux à la racine.
En effet, le nombre dont on extrait la racine peut être considéré comme le produit d'un nombre décimal d'autant de chiffres qu’on en veut avoir à la racine ; or, lorsque les deux facteurs d’un produit con-
tiennent chacun deux chittres décimaux, il y en a 4 au produit ; donc, etc.
314. Lècre. Pour extraire par approæinvition, la racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un carré parfait, on abaïsse successivement, à sa droite des restes, aulant de fois deux zéros que l’on veut avoir de chiffres décimaux à la racine, et l'on continue par ce moyen l'opérution d'après lu règle.
DÉMONSTRATION. En etfet, si l’on veut avoir deux chiffres décimaux à la racine, par exemple, il faut abaisser successivement deux fois deux zéros, ou quatre séros, ce qui revient à multiplier le nombre proposé par 10000 ; mais la racine serait 100 fois trop grande, et oc la r‘duit à sa juste valeur en la divisant par 100, c’est-à-dire en séparant deux chitfres décimaux sur la droite de la racine.
315. Rècre. Pour evtraire la racine carrée d'une fraction ordinuire, il faut la réduire à sa plus simple expression, st elle n'y est déja, et extraire lu racine des deux termes, s'ils sont des carrés parfaits ; autrement, 1 faut en fuire le produil, puis en extra : la racine, et diviser le résullat par le dénominateur, ou bien til
faut réduire lu fraction en décimules, et extraire la racine des décimales.
816. RèGre. Pour extraire la racine carrée d'un nombre décimal, on fuit en sorte que Le nombre proposé ail, de chiffres décimaux, le double du nombre que l'on veut avoir à lu racine. S'Uyena
312. Comment fait-on la Preuve de cette règle f— 314. Comment trouve-t-on la racine carrée par approximation ?— 315. Comment extrait-on la racine carrés d'une Fraction ?— 316. Comment extrait-on la racine carrée d'un nombre Décimal ?
moins, on y supplée par des zéros ; s'il y en a davantage, on néglige Le surplus, puis on opère comme sur un nombre entivr, en ayant soin de séparer à la droile de la racine le nombre de chiffres décimaux qu'on veul avoir.
317. l’our trouver un moyen proportionnel entre deux nombres, on multiplie ces deux nombres entre eux,et on extrait la racine carrée du produit,
Ex. Si l'on avait 6 : æ::æx : 24, on en tirerait x? — 6 x 24, et, par conséquent, æ =#ÿ6 x 21 = ÿ 144 = 12, moyen proportionnel demandé.
8318. Dans l’extrection de la racine carrée par approximation et dont le nombre de décimales voulues est déterminé, on peut abréger beaucoup l'opération par la méthode (No. 74 bis) employée pour abréger la division des nombres décimaux, en faisant usage de la règle suivante. Trouvez par la règle (No. 314) la moitié des chiffres décimaux requis et 1 de plus ; ajoutez au reste un zéro au lieu de deux; puis ayant trouvé le diviseur comme à l'ordinaire, agissez comme au (No. 74 bis) pour avoir les autres décimales.
Ex. Soit donc proposé d'extraire la racine carrée de 4567, à moins de 1 billionnième près; c’est-à-dire, ayant neuf chiffres décimaux à la racine.
OPÉRATION, ErucibarTion. Ce nombre devant avoir deux chiffres avant les déci-
Division. Keste. Racino carrée. Haies, qui doivent être au nombre 1351590 | 11179750 | 67.579582715 de “re la racine aura onze chiffres test 10812727 en tout; et, par conséquent, avant de 367023 commencer l’abréviation, il est néces-
270318 saire d’avoir déjà trouvé six chiffres
à la racine. Ainsi, ayant opéré sur le nombre 4567 d'après la règle (No.
96705 514}, et ayant trouvé que les six 94612 prouniers chiffres de ia racine sont 7.5795, que le reste est 1117975, et
2093 le diviseur 135190; j'écris ces nom.
1351 bres comine en marge (No. 74 bis),
puis j'écris un zéro à droite du reste, et je divise à l'ordinaire ; le premier
742 chiffre que j'obtiens est &, leque!, si 676 on opérait sans abréviation, devrait ES être ajouté au diviseur; je retiens 66 dono 7; car 8 fois 8 soustrait du di-
viseur donnerait une retenue de 7; j'ajoute 7 au Fa du zéro par 8 Ensuite le reste se fait comme au (No. 74 bis) pour l’abréviation de la division des décimales; et je trouve que la racine carrée de 4567 est 67.579582715.
317. Cumment trouve-t-on un moyen proportionnel entre deux nombres donnée
EXERUICES,
1. Quelle est la racine carrée de chacun des nombres suivants: 1° 169; 22 576; 3° 1225; 49 2401; 50 3249; 6° 4096; 7° 5329 ; 8° 6724; 99 9801; 100 10816?
2. Quelle est la racine carrée de chacun des nombres suivants: 1° 61009; 2° 454276; 3° 505521; 4° 637821 ; 5° 648132; 60 138417 ; 7° 809215 ; s 89 927748 ; 90977137; ? 10° 999999 à 3. Quelle est, à moins d'un centième près, la racine carrée de chacun des nombres suivants: 1° 9828432; 20 16032016; 3° 30858025; 4° 31900584; 59 96964006 ; 6° 48832144 ; ds 6309124 ; 80 647381 16; 99 95981209 ; 7100 99930001 è 4. Quelle est la racine carrée de chacun des nombres décimaux suivants: 1° 152413839.36; 2° 1231002839.21; 30 609151. 76100 ; 4° 184093. 3376100 ; 5° 103318629. 1172169133041 ? 5. Quelle est, à moins d’un nillième prés, la racine carrée de chacune des fractions suivantes: 10 #:29%; 30 &; 4° j2;: 60 81: GARE TO USA 5 8° 4I4B; 9° FHAIE; 100 pxlfgas? Re 1° 0.666.
. Quelle est, à moins d'un millième prés, la racine carrée de cha: " des nombres fractionnaires suivants: 19 4323; 20 628,5; 40 38054 ; 49 5870413; 59 92402548; G0 82742; T0 12007 ; go A9ZAS, ; 90 390,782 5 10° 23538 5 Ÿ R. 1° 20.801.
+ On a vendu, au prix de 15s. la pièce, un nombre de parapluies, tel, ‘qu’ en ajoutant 16 à son carré, on obtient 80 pour résultat : quelle somme recevra-t-on ?
8. Un champ carré contient 12544 pieds d’arbres plantés en carré à 4 verges l’un de l’autre: on demande combien de rangées abou tissent sur chacun des quatre côtés ?
9. On veut entourer de murs un terrain carré qui contient 3600 toises de superficie : on demande quelle sera la longueur des murs?
10. Un jardinier a 3969 choux qu'il veut planter en carré, de ma nière qu’ils forment des lignes droites et parallèles, en long et en large : on demande combien il y aura de choux dans chaque rangée, sur les quatre faces.
11, Un terrain de forme carrée est planté d’arbustes à 1 toise de distance : combien y en a:t-il sur chaque face, sachant que le terrain en contient 94804 ?
12, Combien faut-il placer d'arbres sur chaque côté d’un terrain carré qui doit en contenir 15129 en totalité ?
13. Ou veut rendre carré un terrain qui a 625 toises de longueur sur 400 de largeur: on demande de combien on doit diminuer ia lon gueur et augmenter la largeur pour que le terrain ait la même superficie.
14. Une cour a 432 perches de superficie, la largeur n'est que les 4 de la longueur : on demande quelles en sont les dimensions.
15. Un écolier demandait, par plaisanterie, à un laboureur, quelles étaient les dimensions de sa terre: Monsieur, dit le laboureur, la longueur surpasse de deux rerches la largeur, et elle 420163 per. de superfeie : cherchez maintenant ce que vous demandez.
16. Une pièce de terre contient 48020 perches carrées ; la longueur contient 49 per, de plus que la largeur: quelles en sont les dimensions ?
17, Un maître assure que le nombre de ses écoliers, multiplié par le 4 du même nombre, fait 2523 : combien a:t-il d’écoliers ?
(8. Un terrain de forme circulaire, ayant 119025 verges de superficie, doit être réduit en carré : quelles en seront les dimensions ?
19, Combien faut-il payer pour faire recrépir les quatre murs d’un jardin de 8100 verges de superficie, à $0.874 la verge, les murs ayant 2, ver. de hauteur ?
20. On veut former un parterre de 961 verges carrées : quelle sera la longueur de ses côtés?
21. On a deux nombres; le plus grand est 40, et le total de leurs carrés est 1625 : quel est le plus petit ? '
22. Un horloger a vendu 3 montres dont les prix respectifs sont entre eux comme 5 est à 6, et comme 6 est à 9; et le total des carrés de ces prix est $3550 : combien coûte chaque montre ?
23. Quel est le prix d'une machine à râtisser les jardins? On sait que ce prix, ajoute à son carré, donne pour total 186.
24. En divisant le carré du nombre de piastres que j'ai par le £ de ce nombre, je trouve $96: combien de barils de morue pourrai-je acheter avec la somme que je possède, si cette morue me coûte $4 le baril ?
25. On a acheté du drap pour £306 5 ; le prix d'achat de la verge est ,!,; du nombre d: verges achetées : combien en at-on eu de verges, et quel serait le prix de vente de la verge si l’on revendait ce drap avec un bénéfice de 3s. 9. par verge?
26. On a acheté de la pierre de taille au prix de $18.20 la verge cube: quelle somme devra-t-on débourser si le nombre des verges cubes achetées est tel, que, si l’on retranche 405 de sou carré, la racine de ce carré se trouve diminuée de 5 ?
819. On appelle Cube d'un nombre le produit du carré de ce nombre multiplié par le nombre lui-même.
Ainsi, les cubes des nombres lb dd DL der co
sont 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, qui leur correspondent; d’où la
RèGue. Pour former le cube d'un nombre, on le multiplie d’abord pur lui-même, ce qui donne le curré, et ensuite on multiplie encore le curré pur le même nombre.
320. Le cube d'un nombre renfermant des dizaines et des unités est composé : 1 ? du cube des dizaines ; 2° du produit de trois fois le carré des dizaines par les unités ; 3° de trois fois les dizuines pur le carré des unités ; 4° du cube des unités.
smasmmmammamasdhinsisis its iSrebentneRneERnRRRENRRERRRRE es 319. Qu'appelle-t-on Cube d'un nombre?— 320, De quoi est composé le cube
; P rs À , ; d'un nombre renfermant des disaines et des unités?
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le cube
RACINE OUBIQUE. 236
En effet, soit à cuber le nombre 24, par exemple, èt supposons-le décomposé en 20 + 4, nous aurons d’abord par la premiere multiplication.
DAT 18 26, minime immense ten sn (20 x 20 x 20) + (20 x 20 x 4) + (20 x 20 x 4)
mm
en réduisant (20 x 20 x 20) + 3 (20 x 20 x 4) + 3 (20 x 4 x 4) + (4 x 4 x 4)
où l’on voit séparément : 1° le cube des dizaines ; 29 trois fois le carré des dizaines multiplié par les unités; 3° trois fois les dizaines multipliées par le carré des unités; 4° le cube des unités. Donc, le cube d'un nombre est composé, etc.
321. On appelle Racine cubique d’un nombre le nombre qui, étant multiplié deux fois par lui-même, reproduit celui dont il est la racine.
Ainsi, les racines cubiques des nombres 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,
sont 1,2, 3, 4, 5, ,6, 7, 8, 9,qui leur correspondent car tous ces nombres étant multipliés deux fois par eux-mêimes les reproduisent. 4
RèqLe. Pour extraire la racine cubique d’un nombre quelcon-
ue, il faut suivre la méthode suivante :
15 Si le nombre proposé n'a pas plus de trois chiffres, sa racine se trouve dans les unités ; car 10, qui est le plus petit nombre de deux chiffres, en a 4 & son cube (10 x 10 x 10 = 1000). Si Le nombre en contient plus de trois, on le partage en tranches de trois chiffres, en allant de droite à gauche ; la dernière peut en avoir moins de trois. On cherche ensuile la racine cubique de la dernière tranche, on l'écril au dessus du trait horizontal, et onre:tranche Le cube de cette racine du nombre sur lequel di opère ; à côté du reste on écrit la tranche suivante, on en sépare deux chif. fres par un point, puis on divise celte tranche par le triple carré des dizaines : on écrit le quotient a la racine, après quoi on soustrait de la tranche que l’on vient de diviser, la somme du produit du tri,le carré des dizaines multiplié par ce dernier chiffre, + celui du triple des dizaines multiplié yar le carré des unites + le cube des unités. |
Nora. On pourrait aussi, ce qui est plus expéditif, quand il y a plus de deux tranches, cuber la racine cbtenue et retrancher ce cube de toutes les tranches
déjà employées. Un renouvelle les mêines opérations toutes les fuis qu’ ri uue nouveile tranche à côté du reste. 8 PIR:GU'SSS TS
