FORMULES

lère s= (a+) x Le 4e a=Îl—[(n—1) x d].

l—a me PF fl cu 2e den be qe [(n—1) x 4d].

334. L'interprétation de ces formules algébriques fournit les P gepriq

#as ou problèmes suivants :

I. Les deux extrêmes, et le nombre de termes d’une progression

, prog

par différence, étant donnés, trouver la somme des termes.

Ex. Si le premier terme d’une progression par différence est 3, le dernier terme, 108, et le nombre des termes 14: quelle est la somme des termes ?

Souuniow, # = (a + 1) x À = (3 + 108) x = = 111 x 7 =

777, pour la somme des termes.

RÈèGLE. Fuites la somme des ectrêmes; multipliez-la par la moitié du nombre des termes, et le produit szra la somme des termes. .

IT. Les deux extrêmes, et le nombre des termes d'une progression par différence, étant donnés, trouver la différence commune.

l'1, Si le premier terme d’une progression par différence est 3, le dernier terme, 108, et le nombre des termes, 14: quelle est la diférence commune ?

Soruriox. d = Cr lee 1) MG à di 8 jy, pour la difé-

rence commune. + ?

RèGaLe. Divisez la différence des extrêmes par le nombre des termes, moins un, et le quotient seru lu différence commune.

IIT. Les deux extrèmes, et la différence commune d’une progression par différence, étant donnés, trouver le nombre des termes.

nine qu’il lcux mes pré- = le ine ; s en

t les sion

st 3, t la

PROGRESSIONS PAR DIFFÉÈRENCE. 24ù

[ER 108— SOLUTION. n = "+ Lm— “ + 1=+1=21+ 1=22, pour

le nombre des termes.

RÈGLE. Divisez la différence des extrêmes, par la différence

. commune, et le quotient, augmenté de 1, sera le nombre des termes

cherché.

IV. Le dernier terme, le nombre des termes, et la différence commune d’une progression par différence, étant donnés, trouver le premier terme.

Ex. Si le dernier terme d'une progression par différence est 108, le nombre des termes, 22, et la différence commune, 5: quel est le prenier terme ? |

SoLuTION. a = L—[(n—1) x d]=108—f(22—1) x 5] = 108—(21 x 5) = 108— 105 = 3, pour le premier terme.

RèaLe. Multipliez la différence commune par le nombre des termes, moins un: sounstrayez le produit du dernier terme, et le reste sera le premier terme.

V. Le nombre des termes, leur sumimne, et la différence commune, d'une progression par différence, étant donnés, trouver le premier terme.

Ex. Si le nombre des termes d'une progression par différence est 22, leur somme, 1221, et la différence commune, 5: quel est le premier terme ?

SOLUTION, Œ = ire [(n—1) x id] = où (22—1)x 24] =55}— (2i x 24) = 553 — 523 = 3, pour le premier terme.

RèaLe. Divisez la somme des termes par leur nombre, et, du quotient, soustrayez lu moitié du produit de la différence commune par lenombre dis termes, moins un, et le reste sera le premier terme.

VI. Le premier terme, le nombre des termes, et la différence commune d'une progression par différence, étant donnés, trouver le dernier terme.

Ex. Si le premier terme d’une progression par différence est 3, le nombre des termes, 22, et la différence commune, 5 : quel est le dernier terme ?

Sozcvrion. L=a+[(n—1) x d]=3 +[(22—1) x 5]=3 + (21 x 5)= 3 + 105 = 108, pour le dernier terme.

RÈGLE. Ajoutez au premier terme le produit, par la différence ‘commune, du nombre des termes moins un, et la somme seru le der-

.nier terme,

EX ERCICES,

l. On demande le 18e terme d'une progression par différence dont le Ler est 4 et la raison 6. R. 89,

De dr ie. 2 pc,

246 PROGRESSIONS PAR QUOTIENT

2. Connaissant que le 18e terme d'une progression par différence ést 89, et que la raison est 5 : on demande le premier terme.

8. Un débiteur a 18 créanciers; il doit 89 8. au dernier; la somme qu’il doit aux autres va en diminuant de 5s.: on demande combien il doit au premier.

4, Un particulier a acquitté une dette en plusieurs paiements ; le premier a ête de $4, et le dernier de $89 ; chaque paiement augmentait de $5: on demande combien il a fait de paiements.

5. Une dame charitable a donné tous les jours de l’année l’aumône à un pauvre: le premier jour elle lui donna 10 sous; le second, 25; en augmentant ainsi de 15 sous: combien lui donna:t-elle le dernier jour ?

6. Un particulier voulant favoriser un jeune homme, lui donna le ler jour de l’an 10 sous; on ne dit pas combien il lui donna les autres jours; mais on sait que le don du dernier jour montait à 54 8. : combien le jeune homme a-t-il reçu en tout ?

7. Quelqu'un s’est acquitté d’une dette en 15 paiements de mois en mois: chaque mois il a augmenté de $3, et son dernier paiement a été de $54: de combien a êté le premier paiement ?

8. On a vendu à neuf particuliere du caoutchouc qui a été payé 6s. 6d. la livre ; le Ler en a pris 8 Ibs.; le 2e et chacun des autres en ont pris 5 lbs de plus que ceux qui les précédaient immédiatement : combien le Je en at-il pris et pour quelle somme ?

9. Quelle somme déboursera-t-on pour un thermomètre, dont le prix est égal au ler terme d’une progression par différence, dont le 15e terme est $#7.50 et dont la raison est 80,50 ?

10. On a calculé que, depuis un siècle environ, le fermage avait suivi une progression constante par suite de laquelle il doublai’ ious les 32 ane. Or, le fermage d’une propriété était de $1820 er 1830, et de $3640 en 1862 : quelle a été l'augmentation annuelle ?

11. Un boucher a acheté 12 moutons pour une certaine somme dont il s’est acquitté en plusieurs paiements ; le ler a été de 148. ; le 2e, de £I 14 3, et ainsi de suite jusqu'au dernier qui a été £8 16: en combien de paiements s’est il acquitté ?

12. Pour creuser un puits de 19 verges de profondeur, on a payé $1.15 pour la lère verge ; chacune des autres verges a coûté $0.20 de plus que le précédent : combien a-t-on payé pour le tout?

PROGRESSIONS PAR QUOTIENT

335. Une Progression par quotient est une suite de termes tels que chacun est égal à celui qui le précède multiplié par un nombre constant, appelé raison de la progression.

La progression est croissante ou décroissante, selon que la rai-

son est plus grande ou plus petite que 1.

Ainsi, les séries des nombres: 2, 6, 18, 54, 1296, 354, 81, 20, 5%, forment deux progressions, dont la première est croissante ; car la raison $ = 3 est plus grande que 1, et la seconde, décroissante ; puisque la raison 4 = 4 est plus petite que 1.

336. On énonce les progressions par quotient de la même mar ‘üière que les progressions par différence (No. 331).

PROGRESSIONS PAR QUOTIENT

8337. Un terme quelconque d’une progression par quotient est

| nce | set composé du premier terme multiplié par la raison, élevée à une me puissance marquée par le nombre destermes qui doit précéder ien celui qu’on cherche, Par exemple, soit la progression : 8, 6, 12, 24, 48, 96, dont la raison le est 2; le deuxième terme est composé du premier 3 x 2 = 6; le dnxé troisième est composé de deux fois 3 multiplié par la raison 2; donc, | a de 3 x 2 x 2 = 12, c'est-à-dire du premier terme 3 multiplié par le | one carré (2 x 2), ou la deuxième puissance de la raison ; le quatrième 25 ; est composé du troisième (3 x 2 x 2), multiplié aussi par la raison ner 2; donc, il se compose de 3 x 2 x 2 x 2, c’est-à-dire du premier terme 3 multiplié par le cube, ou la troisième puissance de la raison ; a le on le demontrerait de même pour les autres termes; donc, etc. tres : . | HS 338. Dans les progressions par quotient, comme dans les progressions par différence, cinq quantités doivent être considérées, | nois savoir: 10 le premier terme, que l’on peut représenter par a; | ient 29 le dernier terme, par l; 3° le nombre de termes, par n ; 4° la | : raison, par r ; et 5° la somme de tous les termes, par s; d’où l’on | ay 8 déduit les quatre s en nt : FORMULES: | t le lèrel =ar"—1, 3e s=a("—).

it le ’ 7 —1 2e S ide: 4e T = s—a vait F1 gl" LOS , , : .

830, 339. L'interprétation de ces formules fournit les cas ou problèmes suivants:

1me I. Le premier terme, la raison, et le nombre des termes d’une 8. ; progression par quotient, étant donnés, trouver le dernicr terme. ns Ex. Le premier terme d’une progressiuu par quotient est 5, la | RANE raison 3, et le nomlre des termes, 12: quel est le dernier terme ? de SoLuTion. L=aru—1i= Bb x 312—1 = 5x 311 =5 x 177147= 885735, pour le dernier terme, | RèaLe. Ælevez la raison à une puissance dont le degré soit un | de moins que le nombre des termes et multipliez-le par le premier | terme.

II. Le premier terme, la raison, et le dernier terme d’une pro- |

gression par quotient, étant dinnés, trouver la somme des termes.

Ex. Le premier terme d’une progression par quotient est 5, la raison, 3, et le dernier terme 885735 : quelle est la somme de tous les termes ?

SoLuriox. 8= 5 — — 3] — — g — 1828609, pour la somme des termes,

248 PROGRESS\YNS PAR QUOTIENT

RèGLe. Soustrayez le premier terme du produit de la raison par le dernier terme, et divisez le reste pur lu raison moins un, le le quotient sera la somme des termes.

III. Le premier terme, la raison, et le nombre des termes d'une progression pur quotient, étant donnés, trouver la somme des termes.

Ezx. Le premier terme d'ur+ vorogression par quotient est 5, la raison, 3, et le nombre des termes, 12 : quelle est la somme des termes ?

SOLUTION. s=a("—.) = 6x tel = 5x 531441 — 1 == Tr — 1 3 —1 2

1328600, pour la somme des termes.

RÈGLE. De lu puissance de la raïson dont le degré est le nombre de termes, soustruyez un ; divisez le reste par la raison moins un, et mullipliez le quotient pur le premier terme.

IV. Le premier terme, le dernier terme, et la somme des termes d’une progression par quotient, étant donnés, trouver la raison.

Ex. Le premier terme d’une progression par quotient est 5, le dernier terme, 885735, et la somme de tous ies termes, 1328600 : quelle est la raison ?