AVERTISSEMENT
La Bibliographie est placée à la fin du fascicule, immédiatement avant la Table des Matières.
ET
PROBLÈME DE PFAFF
Par M. G. CERF.
[NTRODUCTION.
Considérons une équation de Pfatî'li) à 2/j J- i variables, réduite à sa forme canonique
*(i) w = dz — /;, (Ij\ — . . . — Pi, d.t: „ = o ;
et d'autre part les formules d'un changement de variables :
/ X i ^1 = -^1 (•'■i s. />„)., Zz^7Ax.z.p)
I \\, = Tn{.r. Z.p).
Les fonctions X, Z, P sont des fonctions continues des arguments qui j figurent dans un domaine {cl) ; elles admettent en chaque point de ce domaine des dérivées partielles premières et le système (2) j est résoluble par rapport aux x^ z, p.
Les formules (2) définissent une transformation de contact si elles permettent de déduire de l'équation (i) l'équation (3)
c'est-à-dire s'il existe une fonction p des x^ j, p non identiquement nulle, telle que la relation ( 4 )
(4) i2 = pw
soit identiquement vérifiée comme conséquence des relations (2). On
dit aussi que les transformations de contact sont définies par la condition de laisser invariante l'équation (i); rappelons-en l'interprétation géométrique.
Considérons un espace euclidien à // + i dimensions rapporté à des coordonnées cartésiennes .z',, . . ., x^. z. L'ensemble d'un point et d'un hjperplan à n dimensions qui passe par ce point constitue un élément de contact du premier ordre {e) dont les coordonnées sont 2/? 4-1 nombres, par exemple j?,, ..., a:„, :;, y^i, ...,y>„, les n-\-\ premiers étant les coordonnées du point et les autres, les coefficients de l'équation de l'hyperplan. La transformation (2) fait correspondre à un élément {e) dont les coordonnées appartiennent au domaine {cl), nous dirons pour simplifier à un élément appartenant à (c/), un autre élément (E), etlorsque (e) décrit le domaine (f/), (E) parcourt un domaine (D). Deux éléments infiniment voisins
e[.f\ p„) et e"(-fi — cUi, .... /?„+ dp,,)
sont « unis », si la relation (i) est vérifiée. On appelle « multiplicité d'éléments unis » une infinité d'éléments telle que deux éléments infiniment voisins en soient unis; une multiplicité d'éléments unis est transformée par une transformation de contact en une multiplicité d'éléments unis et deux multiplicités d'éléments unis aj^ant un élément commun sont transformées en deux multiplicités analogues.
Nous désignerons désormais une transformation de contact par une lettre T. Considérons en outre de la transformation (i) : T,, une autre transformation T', s'appliquant aux éléments d'un domaine (//') ; si (D) et {d') ont une partie commune, le produit de T, et de T, définit une nouvelle T qui s'applique à une certaine partie de {d). C'est avec une restriction de cette nature, qu'on peut dire que les transformations de contact forment un groupe G.
L'interprétation géométrique que nous venons de donner de la définition analytique des transformations de contact conduit inversement à généraliser le problème d'analyse initialement posé : au lieu de nous servir des coordonnées cartésiennes pour représenter les éléments de contact, nous pouvons employer bien d'autres procédés; par exemple, dans l'espace ordinaire, nous pouvons considérer les 00' éléments de contact comme portés par les 00'' surfaces d'un complexe de surfaces convenablement choisies; la condition ({ui exprime que deux éléments sont unis est encore une écpiation de Pfairà 5 variables,
mais qui n'est pas ï-éduile à sa forme canonique; on serait conduit à une généralisation analogue si l'on étudiait les transformations de contact dans un espace (|uelconque.
D'ailleurs, dès le début, la théorie analjticjue des transformations de contact a été considérée comme cas particulier du problème de Pfaff, c'est-à-dire de l'étude des propriétés invariantes d'une équation de Pfaff quelconque. Or cette étude a gagné beaucoup en simplicité grâce aux méthodes nouvelles que M. Gartan [7] a réalisées méthodes qui ont reçu un complément important de M. Goursat [^^j.
Le but de ce fascicule est principalement de résumer ce ([ui, dans ces méthodes, et en particulier dans la multiplication et la dérivation extérieures (')? ^^i "'^ rapport direct avec , les T, de retrouver les propriétés d'invariance connues du groupe G, d'en indiquer l'extension au groupe des Iransformations qui conservent une expression ou une équation de l^faff non canonique. Les résultats obtenus [voir en particulier § 1() à 21) j)euvent être interprétés immédiatement du point de vue de la théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles du |)remier ordre, ce que nous ne ferons pas, un autre fascicule de celte Collection devant j être consacré.*
Nous signalerons d'autre part des tentatives de généralisation des T et comment elles ont conduit à l'étude de transformations de certaines é((uations aux dérivées partielles d'ordre quelconque, ce qui rejoint la conclusion du fascicule VI de cette Collection consacré au problème de Bàcklund. Nous signalerons enfin que la généralisation la plus naturelle et la plus importante est constituée par la théorie des groupes inlinis de M. Cartan.
Pour le point de vue aucjuel nous nous sommes placés, l'historique se résume en (juel(|ues noms propres qui jalonnent le siècle dernier : Pfaff [32], Hamllton |27], Jacobi [ 28 1 , Gras.^mann [2(3], Clebsch [13, 14], Darboux [lo, 10[, Lie [31 ], Frœbenius [20].
LES l'ORMIÎS DIPFKHENTIELLIÎS EKTÉIUELRES. APPLICATIONS.
1. Multiplication extérieure [9]. — C'est une opération introduite par Grassmann [2()]; nousn'aurons à la considérer que d'un point de
(') I^a dérivation extérieiue est liée étroitement à la formule de Slokes qui a été utilisée sous une forme dilTérente par M. M. De Donder (fasc. XIV du Mémorial), et Buhl (fasc. XVI).
vue purement formel. Nous indiquons le produit extérieur de deux ([uantités A et B par la notation f A.B] ou plus simplement [AB]. Soient n quantités m, , w^, ..., Un soumises à la multiplication extérieure; nous posons
i —[ukUi] si i ^ k,
( O SI J = /f.
Le produit extérieur de deux formes linéaires
où les a et a' sont des coefficients soumis aux règles habituelles de calcul, s'obtient suivant les règles ordinaires de l'algèbre, à condition de respecter V ordre dans lequel se présentent les quantités u et d'annuler les produits partiels où la même quantité a se présente deux fois.
Exemples :
[{■2 Uy ^ U.2— ri; ) ( l/i — i II3 -^ -1 V,, )]
= [ "2 "1 ] [ "', "1 ] *>[ "1 "3] 3[ Hi ?/;;] 4- 3[ Ul, Z/3] + 4[ U\ «4) ^ '-^L "2 "1I
= — [ " I "-2 ] — '> I " I ";i ] + 'J [ "1 "1 ] — ^ [ "2 "3 ] -'- 'i- [ «2 "t ] — 3 [ }!■), Il V j.
De proche en proche, on définit des monômes de degré quelconc[ue /??, produits extérieurs de ni quantités 11 dont le signe change quand on permute deux facteurs et qui sont nuls s'ils possèdent deux facteurs identiques.
Exemples :
[ l'i "v"5"l "3 j = 0, [//, II:; Il :t II;,] =—[?<! ll^llsll,,] = [lli ?/3"i ";, ]•
Le produit extéi'ieur de deux monômes a et [3 : [«{3], est un monouie obtenu en écrivant les quantités 11 dans l'ordre où elles se présentent successivement dans a, puis [3 :
I ["2 "s "3] ["', "il] =^ [ "2 "5 "3"v"j] = ["2"3"v"l "5] = " ["1 "2"3"', "s ],
Si a et [3 sont de degré impair,
Une forme extérieure de degré p est une expression linéaire par rapport à des monômes extérieurs de degré /> et dont les coefficients sont des quantités soumises aux règles habituelles de calcul; elle est nulle si tous les coefficients de son expression réduite sont nuls, et seulement dans ce cas; deux formes de même degré sont égales si les coefficients correspondants de leurs expressions n'-duites sont égaux.
Le produit extérieur de deux formes extérieures s'obtient par la règle qui donne le produit extérieur de deux formes linéaires; le degré du produit est la somme des degrés des facteurs; le produit est nul si la somme des degrés dépasse m; toute puissance d'une forme de degré impair est nulle.
Le produit extérieur de plus de deux formes extérieures se définit de proche en proche.
Exemples. — Posons
F = [ ?<i «2 ] + [ u-h ?/,, ] -T- . . . + [ ;^,,.| u^, ], on a
F3] = [ ?/, U., U;^ l/;,lf5 l'i-,] -h. . .,
Pour que le produit extérieur de j) formes linéaires soit nul, il faut et il suffit que les jj formes ne soient pas linéairement indépendantes. Pour qu'une forme <J> soit divisible par une forme linéaire /', il faut et il suflit que le produit extérieur [<1>. /'] soit nul. On démontre ces propriétés en prenant comme nouvelles variables des formes linéaires considérées.
F ayant la signification précédente, et /" étant une forme linéaire, l'égalité
[F.-'/] = o entraîne
F étant une forme extérieure quelconque et/,, /'■-■ . . , //,, /i formes
linéaires indépendantes, la condition nécessaire et suffisante pour que F s'annule lorsqu'on établit entre les variables les relations
est donnée par l'équation
11 suflit pour le voir de prendre /, , f^, . ■ ., fn comme nouvelles variables.
Les formes midtilinéaires alternées, c'est-à-dire les formes linéaires à p séries de variables où l'échange de deux séries de variables reproduit la forme mais changée de signe, peuvent être représentées symboliquement par des formes extérieures. Par exemple, si yj = 3 et que les trois séries de variables soient
//|. //j, .... Il,,: r,. Cj ('„ ; (V'i, ir.j n-,,.
la forme multilinéaire alternée est la somme de termes tels que
