II
tr, »'.. (ï'î
auquel on fait correspondre le monôme extérieur
et à la forme multilinéaire alternée, on fait correspondre une forme cubique extéi'ieure <I>. Cetle forme cubique extèrieuie est covaiiante iibsolae à la forme triliiièaire alternée : si l'on edéctue sur les trois séries de variables la même transformation linéaire, on obtient une nouvelle forme trilinéaire alternée à lacjuelle correspond la forme cubique extérieure obtenue en développant dans *I> cliaque produit extérieur partiel en fonction des nouvelles variables. Cette propriété de covariance des deux formes est fondamentale; elle est générale. La dérivée partielle d'un monôme A.[uii( jKk • • • Hi] par rapport à Ui est le monôme h.[ujUk • • . Ht] ; la dérivée par rapport à u , du premier monôme est — A.\u.iiii^ ... ui], etc. La dérivée partielle d'une forme extérieure |)ar rapport à iii est égale à la somme des dérivées partielles de ses termes [)ar rapport à //,. On délinil ensuite
les dérivées partielles secondes, ete. qui sont nécessairement prises par rapport à des variables toutes différentes. On a, par exemple,
2. Rang- d'une forme extérieure [9]. — C'est le nombre minimum de variables au moyen desquelles, par une substitution linéaire convenable, il est possible d'exprimer cette forme.
Soit une forme F de degré />; le système des équations obtenues en annulant toutes les dérivées partielles de F d'ordre p — i est covariant à la forme F par rapport à toute substitution linéaire effectuée sur les u. Le nombre des èquatiotis indépendantes de ce système est égal au rang de la forme : le nombre p de ces équations indépendantes est au plus égal au rang /•, lui-même au plus égal à n; par un changement convenal)le de variables, on peut supposer que ces équations soient (7) Uy — o. Un=(i. .... iip=o (o^r);
alors la forme ne dépend pas de Mp+i, . . ., u,,^ car elle ne peut, par exemple, contenir un terme où figurent ^/p^, et j) — i autres variables n; par consé(|uent /'Sp, donc /■ = p. Le système (7) est le système associé à F.
Remarcjue. — Le rang d'une forme linéaire non nulle est évidemment égal à i et le système associé à la forme s'obtient en l'égalant à zéro.
Considérons par exemple une forme quadrati(jue extérieure :
Son rang est nécessairement pair : cela résulte de ce qu'on peut lui donner, par un changement de variables convenablement choisi, la forme réduite
F = [i:,U,]-[U3U,]-i ...--[U,,iU,..] (.>5^;0;
pour le montrer, on procède par récurrence en s'appuyant sur ce tait que, si «12 j^ o, la forme
,. 1 r<^F ôv^
ne contient plus les variables «,, Uo. Le système associé à F se compose des équations
Ui = o^ U,= o U,,= o.
Il résulte alors d'une des relations ( 5) que le rang de F est le double du plus grand exposant tel que [F*] ne soit pas nul.
Quand on établit dans F une relation linéaire entre les variables m, son rang s'abaisse de o ou de 2 unités suivant que le premier membre de cette relation est indépendant de U,, U2, . . ., U^y ou non. Si les variables sont liées par les h relations linéaires distinctes
le rang 2 s' de la forme F, déduite ainsi de F est le double du ])lus grand exposant tel que
(jui lui est égal, ne soit pas nul.
D'ailleurs 25'^ 25 — 2/1 et l'égalité a lieu sous la condition nécessaire et suffisante que
De quelque façon (jue l'on choisisse /t'(/i'<< h) fonctions parmi /'i , . . . , /^, l'égalité précédente entraîne
en particulier
[FV,] = o ■(/=!. 2 A);
l'équation symbolique (9), où /est une forme linéaire
(9) |FV] = o
constitue la condition nécessaire et suffisante pour que y s'exprime au moyen de U,, . . ,, Uat-
En particulier aussi, l'égalité (8) entraîne
Nous allons montrer (|ue si l'on suppose n = 2. y et ([ue h formes linéairesy'i, . . .,/"/, satisfont à (8), f'é(jualioii symbollipie (10), où /
est une forme linéaire inconnue
(10) [ F^-Vi/s •••//'/] = 0 (A + i<*),
est équivalente au système d'écjuations
En effet, l'équation (lo) admet, avec les notations précédentes, 2s — h solutions distinctes :/,,..., /^ et les 2 {s — h) variables de réduction de F, ; le système d'équations linéaires par rapport aux coefficients de/, par (juoi elle peut être renij)lacée, comprend par consé- (juent 2.y — (ay — // ) = A équations distinctes. D'autre part, l'équation (i i) admet loutes les solutions de (10), d'après ce qui a été dit ([uelques lignes pins luuil; elle n'admet pas d'autres solutions, car elle est équivalente à h équations linéaires distinctes : on le voit en constatant que, dans le cas contraire, la relation
où les 1 seraient des paramétres à déterminer, devrait être véritiée quel que soit /"; donc qu'on devrait avoir
[ F-^- 1 ( X I J\ — ... — À/, fu I ] = o ; ce qui exigerait que
et serait en contradiction avec l'indépendance de/,, . . . , //,.
)\. Les formes différentielles extérieures et la dérivation extérieure. — Les expressions (pii ligurent sous le signe d'intégrale multiple d'ordre y> à n variables peuvent être représentées symboliquement par des formes extérieures de degré p ([ui leur sont covariantes par rapport à tout (diangement de variables, et où les différentielles jouent le rôle des quantités a des précédents numéros (^1); on obtient ainsi les formes différentielles extérieures [9] (' ).
L'application du tiiéorèmede Stokes généralisé à rintégrale/>-uple
(') On peut aussi interpréter une forme dilTérenlielle extérieure comme représentant un champ de tenseurs antisymétriques [iO']; la dérivation extérieure et sa propriété de covariance par rapport à la forme (liirércnlielie extérieure résultent de la notion (|ni généralise celle de rotationnel.
permet en général de déduire de la forme différentielle extérieure o) de degré p une forme différentielle extérieure co' de degré p + \\ l'opération ainsi définie a été appelée par M. Cartan rlèrivation extrrieure. Posons
o =^ Aa, a, ... a„( •■''i ■''■i '' „ ) [ '''■'^a, '/••'"a, • • • <l-''y.^, \
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons d'indices p à p: il vient alors
Nous admettons ainsi, et nous l'admettrons par la suite, que leè coefficients A sont des fonctions continues qui admettent des dérivées partielles du premier ordre, mais cela n'est pas nécessaiie pour l'existence de la forme dérivée extérieure [9]. La formule définitive a deux formes suivant que p est pair ou impair :
w'=^ Cla,a„... 7.^, a,, ,['/'y., 'f'' y., ■ ■ ■ 'f'^x,, ,]■
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons d'indices p -\- i à y> + I , et si /> est pair
C'A3ti...a,, V- V a.^ . . . a,, a^, . 1 «Aa^^^^ai . .. a^-,
si p est impair,
les signes + et — alternant {cf. Bulil [()] et De Donder [17] ).
Si m est un coefficient, fonction de X\, x-^. .... x,, et co une forme différentielle extérieure,
(in (■} r ^^ I (lin .'■) I - m <•>'.
Si ',) et m sont deux formes différentielles extérieures quelconques,
[ WTO ]' = [ (o' 777 ] dr [ (ottt' ] .
le signe -f- et le signe — se rapportant rcspectivenienl aux cas où c) est de degré pair ou impair.
La forme dérivée extérieure est covarianle à la forme donnée par
rapport à tout cliangemcnt de varuibles elTecLué sur les x; cela tient à la signification invariante de la formule de Stokes généralisée, qui est susce|>tible de recevoir une expression indépendante du choix des variables.
4. Les formes extérieures difiérentielles exactes. — La dérivée de la dérivée '»>' d'une forme difiérentielle extéiieure quelconque oj est identiquement nulle; réciproquement, si la dérivée d'une forme différentielle extérieure cj est nulle, la forme cr peut être regardée comme la dérivée d'une forme o) dont le degré est inférieur d'une unité à celui de m.
l*our démontrer la première partie de cette proposition, il suftit de le faire sur un uionome A[flf.r|, . . ., dXp\; or si A ne dépend que de X\, .r-2^ .... Xp, [^/Ac/j?,, . . ., dxp\ est nul, donc sa dérivée aussi; si A ne s'exprime pas avec .Ti, . . ., Xp seuls, par un changement de variables on peut s'arrangei' pour qu'il soit égal à Xp^,i et la vérification est immédiate. Pour démontrer la réciproque, le procédé le plus rapide [1)| est uu procédé de récurrence qui s'apj)uie sur le lemme suivant :
Si la dérnée iT une forme « est nulle, et si cette forme ne contient pas la di (férentielle dx„, ses coefficients sont tous indépendants de x,i.
On peut donner aussi une démonstration directe analogue à la démonstration classique du cas des intégrales curvilignes [24 j.
Cas d'une forme de Pfa//'. — Pour une forme linéaire de diffé rentielles ou forme de Pfad
(■') = ^ ((/( .ff . . . .r,i)dxi,
la dérhée extéiieure est la lorme différentielle quadratique extérieure qui corres[)ond à la forme blllnéaire alternée de différentielles qu'on appelle le co^'urianl hilinéiiire (i20| Idaidxi — doidxi :
^['/"i '/.'■,] =2 «,/['/.'■, 'hj
en posant
la sommation étant étendue aux conil^inaisons des /i indices deux à deux.
Pour les formes de Pfaff, M. Cartan |7| a introduit en outre la notion de formes différentielles extérieures dérivées successives de la forme donnée oj; ce sont des formes covarianles à co. de degré croissant, dont la première est oj' et dont les suivantes : w", o)", .... o)f'-'"-'\ oj'-"'\ . . . , sont définies par les relations
tu" = [ coo/ ], (.<)'" =-[(./-]. .... Oj(2m-l) [ to'"'l. (0l-"')= — -Twoj'"']
ml ml
Les coefficients de ces formes ne sont autres que les agrégats de Pfaff [-28] et l'on a, avec les notations de Jacobi,
oi^'^i^o, i)ti.i„ (./= 2^ ( ?\ y )[</./■/ Y/./7].
a)(2'»i =: V (O, /) ,/.,..., /o/zi + l ,) [ <l'i, ■ ■ ■ <^li'i,„. : , ]
avec
(o. /) = Gj, ii.j) =: Ctij-,
le signe ]S s'étend à toutes les combinaisons possibles des ji indices;
On pourra comparer (Jrassmann [-<»|.
E.iemp]es :
hiii + ] '1 •••'■/ -I
CO = />| c/.'/'i i />2 '/•/■•i t . . . /'/, 'ff'ii,
TRANSFORMATIONS DE CONTACT ET PROBLÈME DE PFAFF. l3
le nombre des variables est ici 2/? :
o/ =: [ c/pi f/.r, ] -r- \ dp-, f/.r, [ — . . . -r- [ <!p„ (l.rn ],
<oi'="-î> = — - r oj (o'«-i 1
= P\V<l-^'\ 'IP"- <f''-2 ■ ■ ■ <lpn "''•/)] + Pl['lp\ 'l'\ 'l'i . ■ ■ dpn dXn\ -r- . ,
,,j(!"-l) ^ Liil^ ^ S^dp, dxy dp. d.r., . . . dp,, d.r„ ].
.oi(=") = o.
2° W := (^/3 />i t/^i p-i llx j, . . . p,i dr„.
m' ^ [ d.r, dpi ] -^ [ dx. dp, ]--...— [ d.r„ dp,, ]. ^Yd.r.dp,... d.r„dp„\
(0(2'0 = Li^i^] ^ [,/- ,/,.^ ,j^,^ 7,.^^ ,/^,^^
5. Classe d'une forme différentielle extérieure [7]. — C'ebl le nombre minimum de variables au moyen desquelles on peut exprimer cette forme. Désignons la forme par w, soient c ce nombre et )'i, y.i^ . . . , ye un tel système de variables, tandis que nous appelons x^, x->, ...,x,i, comme précédemment, les variables qui figurent dans oj. Les y sont c fonctions indépendantes de ^,, x.,, . . . , Xn qu'on appelle « variables caractéristiques o ; elles sont fournies par l'intégration d'un système d'écjuations de Pfaffile système caractéristique [9, 124J. On forme celui-ci en adjoignant au système associé à oj le système associé à o)'; il est complètement inlégrahle et la classe en est le nombre des équations indépendantes. On le démontre ainsi : si oj s'exprime au moven de )'|, y-2i • . -, ]'c et de leurs différentielles, il en est de même de c/ ; le système associé à OJ et oj' doit donc être une conséquence de
dyy = o. dy-i = o, .... d}\. = o.
Réciproquement^ si le système associé est conséquence de dy\ = o, . . ., aj',.,= o, oj peut s'exprimer, quant aux différentielles, au moyen de <:/)|, <:/} 25 •••5 f()', ; d'autre part, ses coefficients ne peuvent contenir des variables indépendantes de y,, y^, .... ) ,', sans cela oj' ne pourrait s'exprimer au movea de (/it ^)\.' seulement. Si donc le système associé à ot et oj' comprend n ou n — i
équations indépendanles, la forme w est de classe ;/ ou n — i respectivement; dans le premier cas, x^^ . . . , Xn sont des variables caractéristiques; dans le deuxième, le système caractéristique est un système de n — I équations différentielles ordinaires.
Si le système associé comprend n — i — q équations indépendantes, adjoignons-lui q équations de Pfalf qui forment avec lui un système de n — I équations Indépendantes, dont rj,, . . . , ry„, sont un système d'intégrales premières; le système associé à w et oj' est une conséquence de chu =0, . . . , drin-t = ^>', '^^ peut s'exprimer au moyen de 75), r;2, . . . , rin i seuliunent en une forme cj, ; et le système associé à oj et 0/ leur étant covariant par rapport à tout changement de variables, le système associé à wi et (,)\ possède encore n — i — q équations indépendantes; on continuera jusqu'à ce qu'on obtienne une forme à n — q variables, qui, d'après ce qu'on a vu plus haut, est de classe c = Ji — q — 1 .
Lorsque w est une dérivée exacte, son système caractéristique se confond avec son système associé.
Dans le cas d'une expression de PfalF, oj, le système caractéristique comprend les équations qui sont indépendantes parmi oj .— - o et les équations du système associé à 0/. Si 25 est le rang (toujours pair) de (.)', on peut toujours trouver us formes de PfatT indépendantes telles que
le système associé à 0/ est
I r> 1 TîT, = (). rrr-) =0. .... nj^,,. = o.
D^ux cas sont à distinguer suivant que 00 = t) est distincte des é(|uations (12) ou non; dans le premier la classe de w est 25 -f- i et dans le deuxième la classe de oj est a.v. La classe est. toujours l'ordre de la première dérivée qui s annule [cf. Grassmann [26, n" 511]); puiscjue
co(2*-+i| =-- ~ { OJ^+l ]. oj(=-') = -^ [(0 (.)'*■ ]
on a
Lorsque r := i , ro est une dillérentielle totale exacte, au sens habituel.
Dans tous les cas, oj'*^' '^ est, à un facteur indépendant des difï'é-
reulielles près, (';gal au produit extérieur des premiers meinbres dos
TRANSFORMATIONS DE CONTACT ET PROBLEME DE PFAFF. ij
équations du système caracléristi([ue, c'esl-à-dire à [djidjoj ••-■ chc] ; 1 équation symbolique
OÙ y est une tonction inconnue de J^, Xn, conduit à un système if de n — c équations linéaires homogènes aux dérivées partielles du premier ordre pour /" (|ui exprime que celte fonction ne dépend que de )', , »:>, • • • > ), ; c'est donc un système complet; il est corrélatif au système caractéristitjue de gj ; i, est le premier système adjoint à oj : si x^ = Vi, . . ., Xc=yc- — i comprend
De même
conduit à un système io d'équations linéaires homogènes aux dérivées partielles du premier ordre pour/; il contient toutes les équations de i, plus une qui corresj)ond à l'annulation du coefticient de [c()', .... dyc]\ c'est donc un système complet cjui admet c — i intégrales de i, .
Soient yji une de ces inlégrale>et ',i^ ce (pic devient w quand on v fait Yî, ;= const. et dn^ = o ; oj, est de classe <■ — 2 ou c — i; or la relation
[cot-^—^v/r,,] = o
entraîne
c'est-à-dire, puisque ri, joue dans w, le rôle de |)araniètre, '-o,'!;, ; wi est de classe c — ^2; on exprime ce fait en disant (|ue Oi est de rang deux par rapport à r^; c'est une propriété commune à toutes les intégrales de 2.0 fpi on appelle le deuxième système adjoint à oj.
G. Groupes conjugués et semi-conjug'ués. — D'une façon générale nous dirons avec .AJ. Goursat [24J que les cj fonctions distinctes /i ! 725 • • • 5 ./v àe Xy, X2-i . . . . . x,i [q <i n) forment un groupe de rang /• par rapj)ort à la foi-me de l*faH'',> si les relations
J\ = « 1 • J'i ^ (ti ./</ =^ rty.
<IJ\ = o. df\ = <i. .... (lf,i = o.
l6 G. CERF.
OÙ les a sont des constantes (' ) quelconques, abaissent la classe de &.> de r unités; naturellement /"^ac/. Soit w, la nouvelle forme; sa classe est c — r\ la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que le produit extérieur
soit nul, tandis que
où i <^ c — r, est différent de zéro: cela tient à ce que or,' — co^'^ (?<c — /•) s'annide avec d/\, . . ., df,/. Le groupe des q fonctions est conjugué par rapport à oo s'il est de rang iq^iq'^c); il est semiconjuguè s'il est de rang 2^ — i .
Lorsque c est égal à -ip ou ayj» + i , il n'existe pas de groupe conjugué de plus de /> fonctions; la connaissance d'un groupe conjugué de p fondions permet de ramener^ par un changenwnt de variables^ o) à une forme canonique^ sans quadrature si c = ayj, avec une quadrai ure si c ^=^ ■>. p -\- i .
Il suffit pour s'en rendre compte de prendre comme nouvelles variables jKi ,}'<j, . . . ^ fp ces fonctions y,, . . . , fp. les autres variables devenant j'p,,., , ...,)„.
Si c = 2p, la nouvelle forme ne peut contenir d'autres différentielles que <i}'i, . . ., dvp et, comme elle est de classe 2p. on peut l'écrire
Z\, . . . , z p) y ^, . . . , ]p étant ip variables indépendantes. Si c = 2// -h I , la forme s'écrit
( H I <l\-\ -f- . . . ^- B/, dy,, ) -^ ( V>,,+i dvp+x ^ . . . -^ H„ dVn )
et le deuxième groupe de termes doit représenter une forme de classe I, c'est-à-dire une différentielle totale exacte, quand on j considère f\^ ...^fp comme des constantes: au moyen d'une quadrature, on amène donc w à la forme
dr, ô, r(Ki — . . . ~ z^ dy ,,. 7;, r)|, . . . , y p\ z<^^ . . . ^ Zp étant 2/) -+- 1 variables indépendantes.
(') Il est bien cntcnriu que nous supposons que les/ sont défniies, continues el différentialjlcs dans un domaine (d) conlenu dans celui où les coefficients de o) jouissent de cette propriété, et que d'autre part on ne donne aux a que des valeurs que les fonctions/ sont susceptibles de prendre dans (d).
7. Équations de PfaflE et équations différentielles extérieures. — Soit une forme différentielle extérieure co de degré p à n variables a;,, . . ., a;„; toute multiplicité M, à /• dimensions {p^r<^ n) telle que l'intégrale y>-uple / oj étendue à une variété quelconque faisant partie de M,, soit nulle, est dite multiplicité intégrale de l'équation (i3) (0 = 0 [54].
Cette définition comprend le cas où oj est linéaire, c'est-à-dire le cas d'une équation de Pfaff.
Les définitions de classe, variables caractéristiques, système caractéristique s'étendent sans peine à une équation (i3); nous nous limiterons au cas d'une équation de Pfaff,
Le système caractéristique de V ('([aatioii de Pfaff {1"^) est Le système associé aux formes ',\ et [o)oV] : on le voit simplement en réduisant oj à une forme canonique.
La classe de l'équation de Pfatr est toujours un nombre impair : si ',) est de classe 2/>, l'équation est de classe ip — i, si « est de classe .ip-\-i, lécjuation est aussi de classe 2/j + i ; la classe de l'équation est donc égale au degré de la forme dérivée de oj, non nulle et d'ordre pair le plus élevé.
La connaissance d'un groupe de p fonctions conjuguées par rapport à ',) si la classe de oj est ip ou d'un groupe de p fonctions semi-conjuguées, si la classe de o) est 2/> — i permet de ramener l'équation (i3) à une forme canonique. Dans les deux cas nous dirons que les p fonctions forment un groupe conjugué relativement à l'équation (1 3).
8. Détermination d'un groupe conjugué ou semi-conjugué. — D'après ce qui a été dit plus haut, la condition nécessaire et suffisante pour que q fonctions distinctes /', , /.j, . . . , fq forment un groupe conjugué relativement à la forme d(; Pfaff ^o de classe c est
[or ■■-'!' <IJ\ ... <lf,,]^ o.
On désigne sous le nom de <( fonction appartenant au groupe » toute
fonction des varial)les ./•, ..... .r„ qui s'expriuie au moyen dey, /g.
• Si (/ fonctions distinctes /', fç forment un groupe conjugué,
il est clair que /• fonctions distinctes (r'^g) appartenant à ce groupe forment un groupe conjugué: en particulier, chaque tonclion
appartenant au groupe est de rang \i par rapport à oj, c'esl-à-dirc est une intégrale de ^2 ; mais la réciproque n'est pas vraie : /• fonctions distinctes de i*ang 2 ne forment pas nccessairement un groupe con-
Une condition nécessaire pour que q fonctions distinctes y, , . . .,y^ forment un groupe semi-eonjugué esl
cette condition étant remplie, le groupe est conjugué ou semiconjugué et r fonctions distinctes du groupe forment un groupe conjugué ou semi-conjugué : en particulier, chaque fonction du groupe est au moins de rang i, c'est-à-dire est une intégrale de i,. Il résulte de ce qui précède que si l'on connaît un groupe conjugué de q fonctions/, , /a, .... J',p pour déterminer un groupe de ^ + 1 fonctions dont il fasse partie, il est nécessaire et suffisant de trouver une fonction/ distincte de /', . /... .... fg. telle (|ue
(141 [wi'-^'/- -'.//■, ... ,lj,i,lf]^u.
Cette équation exprime que /est de rang 2 par rapport à w, et que cette fonction satisfait par coii>(''queut au système complet de ^/ -t- i équations, l.],, deuxième adjoint à w,.
Or Véquation symbolique {\\)est è<iuWalente au système (i.5) :
(ij) [to''-2),//]=o, [ojC-'')^//', .//■]- o [c.y sW//^r//] = o.
En effet, d'abord (§0) toutes les solutions de (i4) sont solutions de (i5); comme ce dernier système est équivalent à un système de ^ j 1 équations linéaires homogènes aux: dérivées partielles pour / il suffit de montrer que ces équations sont distinctes. D'ailleurs, si c est pair l'équivalence de (i4 ) et (i5) résulte de l'équivalence de (10) et (1 1) qui a été démontrée plus haut; en reprenant comme il faut le raisonnement fait à cet endroit, on a une démonstration générale : [24] les q dernières équations (i5) sont distinctes, autrement, les X <'tant convenablement choisis, on aurait
quelle (jue-soit/; donc on aurait
si c est pair, on retrouverait
À i dj\ -J- ... -h À,/ dt\ = o,
(|ui est impossible par suite de l'indépendance de /,, . . . , /y : si <■ esl impair, il faudrait comme on s'en assuie en considérant par exemple une forme canonicfue de (o que
(16) Ài dj\ — . . . /.,/ <lf,i = Àco.
e.t alors '^ ■^erait de classe au plus égale à iq, ce qui est impossible puisque c ^ nq.
La première équation (i5) est indépendante des suivantes, sans quoi 0)^'"^' serait <''gal à
[co('-3i(À,.//--...--A,,.//;/)].
ce qui entraînerait la relation (i6) ([ui e>t impossible.
Par un procédé tout semblable, on montrerait réqui\alen(e de l'équation s> mbolique
et du système
I (0<'- 1 ' >lf I ^--r O. [ (o('-:" <IJ\ <lf] = 0 [ (.y 3 ,//:/ .//•] = o
loisque /i, ... ,/,/ forment un groupe semi-conjugué.
On déduit des considérations précédentes que pour déterminer un
groupe
conjugué ou senH-roiijui;u('-.
on choisit d'abord une fonction /', intégrale de ij ou ï, :
(ï,) [i'y--U/f] = (> ou il,) [o)"—'if(f] = o. puis une intégrale /o distiiute de /\ du système
[(.,''■ :* (//] = o. [w"-ï' >/J\ <lf\ = o
OU
[(.y--') flf] = o. [(o"--' .//•, ,if I = o. puis une inlégraley., distincte dey") et de /a du système
OU
I (.. ■ ' .//•] -. n. [CV'-" >/J\ df] ^ O. [0.--^^ df., dJ-\ ^ .,
et ainsi de suite.
Si le nombre des variables est égal à la classe, on peut supprimer partout, pour la détermination d'un groupe semi-conjugué, l'équation
[co'-i)f//] = o
et prendre pour/, une fonction arbitraire des variables.
Gomme la réduction d'une expression ou d'une équation de Pfaff à une forme canonique revient à la détermination d'un groupe conjugué ou d'un groupe semi-conjugué par rapport à une expression de PfafT, il en résulte que le théorème précédent donne une méthode de réduction. Cette méthode est due dans toute sa généralité à M. Cartau [7]. Elle avait été indiquée par Clebsch [13] dans le cas d'une forme où le nombre des variables est égal à la classe, celle-ci étant un nombre pair.
Observons que si l'on appelle opération d'ordre r l'opération qui consiste à trouver une intégrale première d'un système de /■ équations difFérentiellcs à /• -h i variables, la recherche d'un groupe conjugué de q fonctions relativement à une forme à n variables nécessite q opérations respectivement d'ordre
/; — I , n — 'i // — ■>. ry -t- I .
La détermination d'un groupe semi-conjugué dans les mêmes conditions nécessite q opérations respectivement d'ordre
n. n — ■>. //J — iq - -> ;-
dans le cas où la classe de la forme est n, la première opération, d'ordre /*, peut être supprimée puisqu'on peut choisir arbitrairement la fonction /i .
On démontre relativement à la détermination d'un groupe conjugué par rapport h l'équation co =: o la proposition suivante [24] :
<( La forme w étant de classe ip ou :>.i) — i et ses coefficients étant holomorphes dans le voisinage d'un point {x\, ...^x^), on peut trouver un groupe conjugué par rapport à oj =; o comprenant/; fonctions qui sont holomorphes dans le voisinage du point {x^^. . . . , x^) et qui se réduisent à a?,, . . . , Xp respectivement lorsqu'on y fait
■tp + \ — •'i)v\^ ■■■• '/i—'^n-
9. Nous allons maintenani donner le développement des équations symboliques considérées, en supposant ([ue les fonctions / sont
A à.ii.., à/
exprimées au mojeu d'un système de variables caraclérisliques de w. Lorsque c esl pair et, égal à liy, et par conséquent
toi'-"-' = ; [cOto'",'^! 1.
on pose
y[o)o/ï-u//'] = ;/| [to'T].
Lorsque r est impair et que c = 2/ + i et par conséquent
oj(<''— î> = —, [oj'Tl.
on pose
La condition nécessaire et suffisante pour que /j'oit de rang 2 est donc {f\ = <) et l'on a respectivement dans les deux cas
^ml A
^ A, à.rior+i
avec
af2Y=^ (o. /'i ''27-1),
et
A—ir\,i-2, ioy) (c = 2Y) et A,=(o,f| 'iy-h\) (c = 2 Y+ •) <^§ "î-)-
Si aih sont les coefficients de 0/. A est le déterminant total des ai/,-; A, est ce déterminani bordé des coi'fticients de 'ô; ces deux déterminants sont différents de o dans Ihypothèse où nous nous sommes placés.
Lorsque c= 2y, on pose
Y[co'ï-' .//>.//■] = (/y, /)[co'ï],
et lorsque c = 2y 4- f
Y[(oo,'Y ''//•;'//■]=., /y. /)[cooyT].
Dans les deux cas, les parenllièses sont des formes bilinéaires alternées pai- rapport aux dérivées partielles des fonctions/ ety^/.
On fl respectivemenl dans ces deux cas :
avec
Les A)jj. el B>,j. sont, au signe près, égaux aux mineui-s do ai^ dans A etA|.
De la définition même des symboles | } et ( ), il résulte qu'ils sont covarianls de la forme oj et des fonctions qu'ils impliquent par rapport à tout changement de varialjles.
Cas d'une forme réduite : ,
I" 0) = G, r/>-i ^ . . . -f- Zy dy-^,
àf . àf
^•^''•' ' ZJ dzi ôy; ôy, àzi,
C'est la parenthèse de Poisson. On vth-itie sans peine les relations
où y, o-, /j» soiii trois fonctions de ■/], ..., c^, ; démontrées sur une forme réduite, elles s'appliquent ù une forme t[uelconque de classe |)aire;
2" (0 = f/r^ — ;, c/)-| — . . . — -y dy...
Le symbole correspondant à la parenthèse du cas général est ici l(^ croch(!t tie Jacobi, au signe |)rès
,rr, V (àft(àf ôf\ àf làj, âfi
Il taiil rciiiai({U('r que, pour (Ji>tiiigiu'r du symbole du produit extérieur, nous mettons une virgule entre // et y.
On démon! re sur la forme réduite les formules suivantes, qui soni vraies pour une forme de Pfaff quelconque de classe impaii'e :
Toutes les idf'utilés que nous venons de signaler relativement aux accolades et parenthèses relatives à trois fonctions sont connue> de longue date pour les formes réduites (Poisson, Jacobi, Majer).
TRANSFORMATIONS D UNK EXritKSSION OL D UNE EQUATION DE PFAFF.
Lorsque deux expressions de l^fafT sonI de la même classe et sont exprimées chacune au moyen de variables caractéristiques, on peut toujours délinir un changement de variables qui permette de passer de l'une à l'autre : il suffit pour cela de ])asser par une forme canonique commune; il en est de même pour deux équations de PfaiT. Lorsque les deux expressions ou les deux équations ne diffèrent que par le nom des variables, de tels changements de variables définisseni une transformation d'une expression ou d'une équation de Pfaff en elle-même; nous retrouvons ainsi le point de vue développé dans linlroduction el l'objet essentiel de ce! exposé. Nous commencerons par nous occuper du cas où l'expression ou l'équation de Pfaff sont réduites à une forme canonicjue, ce qui nous conduit à la théorie classique des transformations de contact.
