THÉORIE DES GROUPES DE FONCTIOXS
Un problème fondamental de la théorie des T est de reconnaître l'équivalence de deux systèmes de fonctions ou d'équatiozas relativement au groupe G, c'est-à-dire de reconnaître s'il existe une T qui permette de passer d'un système à l'autre. Nous ne nous occuperons que de cas très particuliers de ce problème qui se rattachent à la théorie des groupes de fonctions, théorie d'un grand intérêt pour l'intégration du système caractéristique d'une équation de Pfaff et par là même pour l'intégration des systèmes d'équations aux dérivées partielles du premier ordre. Le problème général offre encore un très vaste champ de recherches. Nous ferons d'abord une digression d'algèbre extérieure.
13. Formes extérieures adjointes. — Soient a,, u.2, ..., Un n variables ety"=A[?^3,p ..., m,, J une forme extérieure monôme de degré p; nous définissons son monôme complémentaire par
A [«a +,7 • • • 1 "«„]? ^1) '^•ii • • -1 ^p^ '^■p+^i ■ ■ ■ 1 '^n constituant une permutation d'ordre pair des indices i, 2, . . ., /i. On peut l'obtenir avec d'autres notations do la manière suivante : considérons n — p formes linéaires aux indéterminées ^1'' :
et formons le produit extérieur h.\ay^^ . . ., ?^a,^'''"^'', . . • , ^""] que nous mettons sous la forme A.o\u^^ . . . , i/^]; on a
Zx^, 1 ■ • • ;a„
Çap- , • • • ç"
cp est donc une foruie multilinéaire alternée à laquelle on peut faire correspondre un monôme extérieur et nous appellerons « monôme adjoint à/ », le monôme extérieur A[l^ ^, . . . , ^a„J- La propriété est évidemment réciproque.
Si l'on effectue sur les variables u et t. deux substitutions linéaires contragrédientes, c'est-à-dire telles que ^i W| + . . .H-^« a» demeure invariant, cp se reproduit multipliée par le déterminant de la substitution effectuée sur les 11.
On définit ensuite la forme adjointe d'une forme extérieure quelconque F de degré p par la condition d'être la forme extérieure ^iX,) qui correspond à la forme multilinéaire alternée $1 telle que
Il résulte de cette définition que ^ est la somme des formes adjointes aux monômes qui constituent F; donc O est un covariant relatif de la forme F par rap[)ort à toutes les substitutions linéaires effectuées d'une façon contragrédiente sur les u et les ^.
Nous auiT)ns à utiliser souvent les résultats suivants relatifs aux formes quadratiques. Soit F une forme quadratique de rang 25; on peut la réduire à la forme (J;; 2)
où les U|, . . . , U2.C sont indépend.uits (25 ^n); soit <I> la forme
adjointe à un facteur près de [F^-'] et dont la forme multilinéalrc correspondante est définie par la relation
O est ici covariante absolue de F par rapport aux substitutions linéaires que nous envisageons; elle est égale avec les variables actuelles à
Remarque. — On voit immédiatement que la forme adjointe de [ F^"/'] est, à un facteur numérique près, [^''].
Théorème [9]. — Considérons les formes linéaires indépendantes
de ï<, , . . . , U2S : /i , • • • , /,/ ; b's ^—^ quantités aij définies par les
égalités
et la forme quadratique extérieure à q variables
Si cette forme <i> est de rang 2 a, le rang de la forme F se réduit de 2q — 2(7 unités quand on y suppose les variables liées par les q relations : /', r= o, ..,,fq = o. De |)lus, si l'on effectue sur les q formes linéaires données une substitution linéaire telle que O se réduise à la forme canonique >
la forme F se réduit à la forme canonique
F = [A A] + [AJ\] +. . .^ [/2a-i/2a] - [/2a+./,+i] •^. • •
"i~ [/î/s?— 2ff] -+^ [/27-2a-t-l/27-2a+2l ^- • • • + [./2,f— 1 /2.s- ]'
en désignant par /'y^, , . . . , /2A de nouvelles formes linéaires convenablement choisies, indépendantes entre elles et indépendantes des formes données (cela suppose, bien entendu, 2q — 2<7<2i).
Pour le démontrer on suppose qu'on a pris comme nouvelles variables y, , . . . , fç et l'on remarque (pi'on peut elTectuer sur les variables une substitution linéaire quelconque, sous la seule condi-
tlon que les q premières variables soient échangées entre elles: il en résulte qu'on peut effecluer sur les \ une substitution linéaire quelconque SOUS la seule condition que les 25 — q dernières variables soient échangées entre elles.
Si tous les ciij sont nuls, on retrouve un théorème précédemment
démontré :
^ = 0 et [/,/î.../,F-^+'] = o.
Corollaire. — ■ Supposons que F, de rang 25, dépende de 25 + 1 variables : r,, . . ., i'25-i-i ; soient «,, . . ., u^s des variables de réduction de F; ce sont 2s foncti(»ns linéaires des t", indépendantes entre elles; soit u^x^k une fonction linéaire des v indépendante des précédentes. Les /' sont des fimctions linéaires des v: désignons par ji ce que devient /", quand on y fait Woç,, = o, ce que nous écrivons
fi^=fi { mod u-is-,^1 ).
Définissons y.ij par la relation
il est clair que
Posons on a
En raisonnant comme précédemment, on montre qu on peut mettre F sous la forme * .
-^ iiJiG—i i^2(T— 1 "j-t-l) ^fïn |J2a ''.?+!,)] H- [(/2(H-1 — ;^2(T-I-: "..-+1)./ <?+l]^"••• "^ [(/7 ,^7".?H-l)/2<î'— 21] -^ [/2<7— 2(T+l/2<7— 2(T-t-!] -^ ■ • • ■
Nous allons avoir à aj)pliquer constamment les résultats de ce paragraphe.
16. Systèmes involutifs. — ■ Dans toute T, si f et 0 sont ce que deviennent deux fonctions F et O des grandes lettres quand on remplace celles-ci au moyen de leur expression en fonction des petites, et si y et 9 sont en involution, F et $ le sont aussi et réciproquement.
Considérons q fondions distinctes f\i.. ■ ■) j 1 de .r, z, p et telles
qu'elles soienl deux à deux eu iiivoluliou; nous dirons qu'elles constituent un groupe involutif ; deux fonctions de ic, z, j) qui s'expriment au moyen de /(, . . . , fq sont dites appartenir au groupe et sont en involution; les q fonctions données forment une base du groupe, q est l'ordre du groupe. Si ^ < « H- i , on peut adjoindre à /", , . . . ,fç n -\- i — q autres fonctions qui forment avec celles-là un groupe invf>lutif d'ordre /i + i (§ 10). On peut donc donner à un groupe involutif la forme canonique
et un groupe involutif contient au plus n + i fonctions; deux groupes involutifs de même ordre sont équivalents par rapport au groupe G.
De même deux groupes involutifs de même ordre dont les fonctions ne dépendent pas de z sont équivalents par rapport au groupe des transformations en x, p.
Si les fonctions /)■,.. • ■, fq sont homogènes en />, il peut se présenter deux cas : ou bien toutes les fonctions /' sont d'ordre nul, et l'on peut donner au groupe la base canonique X,, . . ., Xy, ou bien toutes ces fonctions ne sont pas d'ordre nul et l'on peut donner au groupe la base canonique P,, Po, . . . , P^. On a donc deux classes de groupes homogènes; dans chacune d'elles, deux groupes du même ordre sont équivalents par rapport au groupe des Iransformations homogènes.
17. Propriétés d'invariance des transformations en x, p. — 11 nous suftii-a de considérer le groupe des transformations pour lesquelles p = i, les propriétés que nous obtiendrons n'étant pas troublées par une homothétie.
I. ISous allons en premier lieu nous occuper d'un syslènie de fonctions ne dépendant que des x^ p. On dit que q fonctions distinctes ^1 , . . . ^ fq des a?, p forment uu groupe d'ordre q [q <^ o. n) si toutes les parenthèses ( /'/, f^) s'expriment au moyen de y,, . . . , fq) seulement :
(fh A) — <^'ikU'u ••■,f<})-
Toute fonction telle que l''(,/i, ....f/) est dite appartenir au groupe et deux fonctions qu(.'lcon(pies du groupe jouissent de la proj)rif:ré précédente.
Toute transformalion vn x, p conserve la propriété d'un système de fonctions de constituer un groupe. Nous nous proposons de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes d'équivalence de deux groupes par rapport au groupe des transformations en x, p. Nous emploierons [)our cela une méthode qui nous servira encore par la suite : en utilisant des covariauts aux fonctions considérées relativement au groupe des transformations en x, p. nous déterminerons un système de différentes bases canoniques possibles pour un groupe en X, p; deux groupes sont équivalents si l'on peut leur donner la même base canonique et seuleuient dans ce cas, les différentes bases canoniques envisagées n'étant pas réductibles entre elles par une transformation en x, p.
Considérons la forme quadratique extérieure
la forme bilinéaire qui lui correspond permet d'écrire la parenthèse de deux fonctions quelconques o et ^ de/i, . . . , fq^ en y remplaçant les deux systèmes de variables ; par les dérivées partielles de o et '1/ par rapport à /'i , . . . , f\j. La forme 0 est covariante absolue àe o el'\) par i-apport à toute transformation en x, p pour laquelle p =; i et qui échange entre elles les fonctions /", a fortiori est-elle covariante par rapport à tout échange des y", les x, p n'étant pas modifiés, étant bien entendu que les ? subissent une substitution linéaire contragrédiente de celle cpii résulte du changement de variables pour df\^ • • • 5 ^Hq- Pour une substitution linéaire sur les £ à coefficients fonctions de /', , . . . , /y, on peut réduire *ï> à la forme
la transformalion contragrédiente sur les df {à. coefficients fonctions des /conduit à q formes de Pfaff indépendantes, cr,, . . . , nr^, telle? que
En introduisant 2Ji--p formes linéaires nouvelles fo,, . . . , oj2«-o indépendantes entre elles et indépendantes des m, on peut donner à Ja forme r.j' rexpression
0)' = [TTy,n7o] -^. . .-- [T7T.,^,ci.,(j]-T-[rooç^., w,] -^ . . ..
4o G. CERF.
Posons
71 = [ ra, CT., ] ^- • . . ^ [ ^2o--i '^ia] ;
7r est construite uniquement avec /'i , . . . , f\j et leurs différentielles, de même que chacune des m. Prenons la dérivée extérieure de la relation précédente
(niod oj^2r7+i . . . W2„-y).
Les termes écrits ne peuvent se i^éduire avec ceux qui ne le sont pas. Quand on su|)pose
(3l) CTocr+i = o, ..., t;7,^=o.
la relation précédente montre que
il en résidte que le système (3i) est complètement intégrable ('); soit j'2a+n ■ • • ■> yq ^^^ système d'intégrales premières de ces équations; ce sont des fonctions des f. Quand ou suppose maintenant qi^G y2a+\^ • • -^ Vq sont constants, tt' est nul; tt est donc une diff'érentielle exacte d'une forme de Pfaff"; si l'on suj>pose cette forme
ramenée à
7, dy.2, + . . . + j/o^-i ily-i,j^ on peut écrire
- = ['ifi dy-i] +• • •+ ['(r^a-i (Jy-ify]
en supposant )'2rf,.t, . . . , y^ constantes.
Finalement, en remplaçant les f par q autres fondions distinctes de leur groupe, on peut mettre oV sous la forme
w'= [<lyi ày.,] — . ..-\- [<//-2a^i 'iyi<j] -- ['(r-jT+i wi J ■ ■ ■ f '(•■7">y-2a] ^-•••,
$ a la forme
* = [Ç,b]-^...^^-[Ç.a-i Etalon peut donc trouver acr fonctions distinctes du groupe telles que
(3'i) ( y^, y-i) = (yi, /i) =• • •= {y-ia-\^y-i'j) -^ ••
toutes les autres parenthèses étant nulles.
( ' ) Voir par exemple § '23.
TRANSFORMATIONS DE CONTACT ET PROBLÈME DE PFAFF. 4l
Les fondions j,^^,, . . . , J> sont en involution avec toutes les fonctions du groupe : ce sont les fonctions distinguées du groupe. D'ailleurs, en se rappelant que les fonctions rtv^si • . • , j2(7+n /2(7+2, • • • , r^ forment un groupe conjugué par rapport à 03, on peut trouver des différentielles exactes pour remplacer les «,• et par conséquent trouver 2n — q fonctions jy+,, . . . , Jo«, indépendantes entre elles et de r, , . . • , J<?' ^^^^^^ 1^^
toutes les autres parenthèses étant nulles.
Par une transformation de contact en a?, p on peut donc transformer les fonctions de base du groupe en
^1, ..., X^, a:2a+i3 •••! ^q'^ Pi, ■■■, Po,
on aura un système des différentes bases canoniques que l'on peut donner à un groupe d'ordre q en donnant à o- les différentes valeurs possibles. On voit donc qu'en dehors de l'ordre, un groupe de fonctions en X, p n'a, par rapport aux transformations en x, /), qu'un invariant : le nombre de ses fonctions distinguées.
Mais on peut tirer d'autres conséquences de ce qui précède : les fonctions jKa^+i, ..., jKo„ forment elles-mêmes un groupe; c'est le o^roupe polaire du groupe donné qui comprend toutes les fonctions en involution avec toutes les siennes. Le système
(33) U'iJ') = " {i^\, -i, ..., q)
est complet: la réciproque est immédiate et donne le moyen de reconnaître si q fonctions forment un groupe. Mais ce moyen exige que l'on connaisse ces fonctions; il peut arriver que l'on sache seulement de ces fonctions qu'elles sont les intégrales d'un système complet, ou les intégrales premières d'un système d'équations aux différentielles totales.
Voici comment on reconnaîtra que les fonctions ainsi définies
forment un groupe. Soit
7lq
le système complètement intégrable qui les détermine; on forme les
parenthèses el l'on pose
rtfi = l\ -,.— ...+ >4/ -q a ^ï, -2, ..., q ).
le déterminant des 1 étani différent de o; par conséquent
Cl le système (•')3) est équivalent au système (34) (34) A,/=o (i = U2. ...,—r/).
11 sufllt donc de reconnaître que le système (34) est complet (une autre démonstration est donnée par Kantor et M. Engel [30, 19 1). Si l'on pose
îT/,- — ^ a/,-; i-Lvi-i- [iki dpi
et que l'on suppose ce système complètement intégrable, les fonctions qu'il définit satisfont au système complet
elles forment un groupe si le système
est complet, ce qui est équivalent à ce que
soit complètement intégrable.
En particulier, les fonctions distinguées d'un groupe donné forment un sous-groupe involiilif qui est dédni par les équations
et auquel s'aj)pli(|uent les considérations précédentes.
18. II. Occupons-nous maintenant de systèmes de fonctions contenant z. Nous aurons à considérer non plus seulement l'Invariance
àf de w', mais celle de oj et à faire intervenir l'expression {y | = -p, qui
dans le cas précédent était toujours nulle; cette expres^ion est un covariant de /par rapport aux transformations en x, p\ d'autre part, la parenthèse devient ici le ciochei; nous dirons que les q fonctions distinctes/,, . . . , /^ de x, z, p définissent un groupe d'ordre q si toutes les expressions |/'|, \fiifj] s'expriment au moyen de/,, •■•?/</ seulement. Posons
les «i et aij étant certaines fonctions des /. Considérons les deux formes
Y = rti Çi -t- . . . -T- «,/ Çy,
A toute substitution linéaire, à coefficients des/ seulement, effectuée sur les ^, nous faisons correspondre la substitution contragrédiente effectuée sur les df. On peut ramener 4> à la forme réduite
* = [?;?.]--.--[çia-,ç;<T] ("^?);
introduii^e des fonctions cr comme précédemment et distinguer trois cas suivant que cp peut s'écrire
a. 9=0; h. c? = ;'i ; (^' '■? = ?Wi-
a. C'est le cas précédemment étudié, toutes les accolades étant nulles.
b. On a
[ w'" ( CTi W ) ] = [ w'" TTT.2 ]=...= [ w'" C7,/ J =: <>
toutes les parenthèses (gt/, wy) sont nulles, sauf et 00' est réductible à la forme
0)' =; [ (^ TTTi W ) TT?:; ] -f- [ CT;. Ttr-, ] — . . .
— [m.fj^^T^i^] • [W^CT-HIW,] -H. . .T-[TCT,/tO,/2o 1
Posons
TT = [ttt, ro.] -r-. . .-h [r^oa-i^sal
et prenons la dérivée extérieure de w'
-' [ -7^2] -r- OJX^'., -h . . .^ O.
On peut poser
dV') 7 /
on constate que la dérivée de — est nulle quand on suppose y2o^\i • • "I yq constants, et l'on peut écrire
71 = y.([dyi dy^] + [dy^ dy,,]-\- . . .-^[dy.^-i dy.^]) et
m' = \ ^^ to -^ -- [ dyi dy^ ] + 72 ([ f(r3 f///, ] -4- . . . + [ f(K2(T-i f^Taa ])
et les fonctions j^i , . . . , yq du groupe sont telles que
(35) |yi|=i, [y^.y^]=—^^ [ja,//.] =...-[j2a-i, r2a] = — jk?,
en se souvenant que
tous les autres crochets et accolades sont nuls. Comme base canonique, on peut prendre
Z, X,, ..., Xa i;
Il y ^ q — 20- fonctions distinguées qui sont, par exemple, les rapports mutuels des P(j, . . ., Py a'
On en déduif immédiatement que le système
est complet.
c. Dans ce cas, toutes les accolades et parenthèses de cr sont nulles, sauf i GT25+1 } et (cT,, CT2), • • • , (w2a-i, ^2ff)- La forme w' est réductible à
Co'= [TOiTîTa] —• • •-+- [''Ï2(T-1^2(j] + [(^2(7+1 W)OJi] + [^^217+2^2] + • • •
-)- [rn,/W,/27] -4- [•co^2a+i w^2a+2 1 -+-• • .-I- [ W2n-7-i Wîn— (/l
ou encore a
w' = [ dyi ^//2 ]-+-•••-+- [ <(K2(t-i '0''2a ]
Les fonctions j^,, . . . , y^ du groupe satisfont aux relations
\ [ri,y■lfJ+^^=—y^, •••, [j-2a-i, r2a+i]=— /a
tous les autres [yt] et [j',, j'y] étant nuls. Par une transformation de contact €n x, p, on peut donner au groupe la base canonique
Z, X], Xo, .... X^, Xct+i, ..., Xg,f7 i,
P,, Po. .... Pa;
il j a ^y — 2C7 — I fonctions distinguées.
En résumé, un groupe de fonctions en x, s, p d'ordre q a relativement au groupe des transformations en x, p en dehors de son ordre, un seul invariant : le nombre de ses fonctions distinguées; il est susceptible de recevoir une base canonique d'un type ou d'un autre, suivant qu'on obtient le nombre de ses fonctions distinguées en retranchant de q un nombre pair ou un nombre impair.
19. Transformations homogènes. — Nous supposerons :;: invariant et ne considérerons que des fonctions en x, p. Nous considérerons les covariants qu'on forme au moyen des symboles
P'i^ et ( ).
Pour ne pas compliquer les notations, nous désignerons encore parw la forme invariante qui est ici
Nous dirons que cy fonctions en x, p:fi , . . . ,fq, forment un groupe si toutes les expressions [fi] et (/,, fj) s'expriment au moyen de/i , . . . , fq seulement ; nous introduirons encore les formes cp et <I> et nous aurons encore trois cas à considérer :
a. cp = o; toutes les fonctions sont homogènes et de degré o; le groupe est nécessairement involutif.
b. 0)' est réductible à
w' =: [ dvi dy. ]+...+ [ </K2(t-i dVi^]
-+- [ ( w -H djo ) (o, ] -f- [ dy.2^+, to, ] -4- . . . H- [ dy^ co,/,<y+i ]-+-....
On peut donc choisir dans le groupe r/ fonctions distinctes Vj, . . -, J'^,
telles que
( J 1 j — — J i ■ ■ ■ iJ 2a- ;72) = (j'3, J-4) =...=
toutes les autres accolades et parenthèses étant nulles.
Par une transformation de contact homogène, on peut donner au groupe la base canonique
P]; • • • ? Pct j
Xj, ..., \^, X2C7+1, ••., Xg,(7;
û y a g — 2a fonctions distinguées.
c. (.y est réductible à
w' = [ f/ji dy., ] -K . . . H- [ ^(K2a-i '0',^ ]
-H [ to f/joa+i ] -^ [ 'fjify+2 w ,]+...+ [ r/j,, 0J,y 2a+i ] ^- . • • •
On peut donc choisir dans le groupe q fonctions distinctes^, , . . ., l'y, telles que
,.^^ ( j/aa+i I =r2a+i,
( (74, J'2) = . . . = (j'-2a-l, ^2(1.) = J2ff+1,
toutes les autres accolades et parenthèses étant nulles. Par une transformation homogène, on donne au groupe la base canonique
P\~ ..., /'(7? y^a-f-1; •••) Pq—a'^
il j a cy — 2 0- fonctions distinguées.
Dans les trois cas, on peut choisir au groupe une base où toutes les fonctions sont homogènes et de degré o ou i.
Ce qui distingue les cas b et c, c'est que, dans le premier, toutes les fonctions distinguées sont d'ordi'c nul et que cela n'a pas lieu dans le deuxième. Un groupe de fonctions x,p a donc vis-à-vis du groupe des transformations homogènes, en dehors de son ordre, deux invariants : le nombre de ses fonctions distinguées est celui de ses fonctions distinguées d'ordre nul. Deux groupes sont équivalents s'ils ont les mêmes invariants.
20. La théorie des groupes de fonctions et les transformations qui conservent une forme de Pfaff. — Adoj)lons vis-à-vis d'une expression
de PfafF non réduite à sa forme canonique et que nous supposerons d'abord exprimée au moyen de variables caractéristiques, les définitions qui nous ont servi pour les groupes relatifs aux formes canoniques. Tl résulte, sans plus, des calculs que nous avons exposés, que :
l. Si l'on considère une forme de classe paire cj, de x,^ . . . , :r.,„' et un groupe de fonctions /i, .. • , fq^ d'ordre q, relatif aux transformations, qui reproduisent co, à une diflférentielle exacte près, on peut choisir parmi les fonctions du groupe q fonctions indépendantes )',, . . . , yq qui satisfont aux relations (32); ou bien le système (Sg),
où Cf, ..., Cq sont des constantes arbitraires, est en involution (relativement à r,)').
H. Si l'on considère nne forme w, de classe impaire, des variables Xf. . . ., ^,„'+i) "ï^ groupe d'ordre ^, relatif aux transformations qui conservent o), possède une base dont les éléments satisfont soit aux relations (35), soit aux relations (36); ou bien le système (Sg) est en involution.
IH. Si l'on considère une forme oo de classe paire des variables r,, ..., x,^., un groupe de fonctions de .r,. .... ii7.„ , d'ordre q, relatif aux transformations qui conservent w, possède une base dont les éléments satisfont aux relations (3^) ou (38); ou bien le système (39) est en involution.
Il est possible, comme précédemment, d'associer au groupe un système complet; la considération des fonctions distinguées, qui sont données par un système complètement intégrable, permet, grâce aux résultats que nous avons acquis sur les T, d'énoncer les conditions d'équivalence de deux groupes de fonctions vis-à-vis du groupe de liansformations aii([uel ils sont tous deux relatifs.
On voit qu'au fond la théorie précédente a pour but de déterminer dans un groupe de fonctions, relatif à une forme w, le plus grand groupe conjugué ou semi-conjugué relativement à cette forme qui y est contenu; cette détermination a une grande importance pour les problèmes d'intégration.
On peut, du resfe, donner à tout ce qui vient d'être dit une plus
grande portée, en ne supposant plus que w soit exprimée au moyen de variables caractéristiques et en supposant que / , , . . . , fq sont des intégrales premières connues du système caractéristique de co. Tous les calculs faits subsistent et s'appliquent, par conséquent, au problème général de l'utilisation d'intégrales premières connues pour l'intégration du système caractéristique d'une expression de Pfafr(').
21 . Groupes de fonctions vis-à-vis du groupe des transformations de contact g-énérales. — Cherchons d'abord la définition à donner du groupe. Soient y,, ..,, /^, q fonctions distinctes de a?, z^p. Une transformation de contact est définie par la relation
(17) ^ = pw (p .=^ o).
Supposons que /) et f^ soient deux fonctions du groupe qui ne soient pas en involulion (si toutes les fonctions y" étaient en involution, le groupe serait involutif et c'est un cas traité), et soient F, et Fî leurs transformées; on sait que
on peut donc écrire
[F,, F,]xO = [/,./2],.co;
autrement dit, la forme [/, , f-i\x^ est invariante. Calculons pour cette forme les expressions | } et ( ) ; posons
Nous dirons que les fonctions/, , . . . ^ fq forment un groupe si toutes les expressions
s'expriment au moyen de/,, . . .y fq seulement; la dernière condition exprime simplement que les rapports des crochets des fonctions du groupe prises deux à deux s'expriment au moyen des/", , . . . , fq-
{') Voir le fascicule à paraître sur ce sujet dans le Mémorial des Sciences mathématiques.
Remarque. — Ce que nous venons de dire prouve que si/,, ..,/« sont q intégrales premières du système caractéristique d'un système d'équations du premier ordre en involution, si les expressions | | et ( ) ne s'expriment pas en/), . . . , /y, elles fournissent de nouvelles intégrales premières (33).
D'autre part, par une T, on peut s'arranger pour que (v= i ; il suffit de choisir cette T pour que p = [/, , /i.]. alors [F, , F2] = i , et l'on est ramené au cas précédemment étudié. Par conséquent, par une transformation de contact, on peut toujours amener un groupe en X, z, /j>, non involulif à l'un des deux types suivants :
Pi, .
.., Pa-1
Pi, ■
... Pa-,
OU
z. \j , .... -Vct i ;
On peut se proposer de i^econnaître si les intégrales du système complètement intégrable
îïTj = o, . . . , ro,/ = o
forment un groupe. On s'appuie pour cela sur la propriété suivante : le système
<4o) [/i,/]-o, ..., [A./] = o, [.,.. Al-^^o
est complet si/i, . . . , /y forment un groupe et réciproquement. Or, -on obtient un système équivalent à (4^) dans le suivant :
(tu,, ^//'j = o, ..., (m,,,i/f) = Q, [,../] — ^ = 0,
OÙ p = (c7i, 572), pai" exemple, et, comme toujours, {xn,, df) est
défini par
[ oj oj'"— 1 cj,- df ] = ( TSi. (If ) [ (•> oj'" ].
Si les fonctions yi, . . . , /^^ étaient données comme intégrales d'un système complet, on formerait le système complètement intégrable correspondant. D'ailleurs, tous ces calculs sont bien simplifiés si l'on élimine dz au moyen de la relation
dz = w -f-/), dx,, -!-...-+-/»„ dxn- Remarque. — Nous avons étudié les propriétés d'invariance, par
5o G. CERF.
rapport au groupe G, de systèmes tout à fait spéciaux de fonctions, systèmes auxquels on est conduit par la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. On peut signaler des systèmes un peu plus généraux qui se présentent dans la théorie des transformations des équations aux dérivées partielles du deuxième ordre à un nombre quelconque de variables indépendantes. Il s'agit de systèmes de q fonctions /, , . . . , /^ de a?, 3, y>, tels que les rapports des crochets de ces fonctions prises deux à deux s'expriment au moyen de y"i , . . . ^ fq seulement sans que la première condition qui sert à caractériser les groupes soit remplie. Celte propriété du système de q fonctions est évidemment invariante par rapport au groupe G [!-']•
GÉiNÉRALISATIONS DIVEBSKS.
les formules qui définissent une transformation de contact. Sa(.~ posons que z y représente une fonction de x,, . . .,^„;^4, . . .,/>« ses déHvées partielles du premier ordre; on en déduit alors pourZ, en général, une fonction de X,, . . ., X,j dont les dérivées partielles du premier ordre se calculent au moyen des expressions des P/. Un calcul classique permetde trouverles déinvée&secondesP/y(i,y = i , 2, . . ., «) de Z par rapport à X/ et Xy en fonction des x^ de z et de ses dérivées premières et secondes. Les formules obtenues ne sont pas valables pour les fonctions z solutions d'une certaine équation de Monge- Ampère (e); inversement, elles permettent d'exprimer iesx, z^pi^pij an moyen des X, 3, P,, P,y, sauf lorsque z est solution d'une certaine autre équation de Monge-Ampère {&)•
On a ainsi prolongé la transformation de contact jusqu'au second ordre : deux surfaces ayant, en un point, un contact du deuxième ordre sont transformées en deux surfaces jouissant de la même propriété.
On peut prolonger la transformation jusqu'à un ordx^e quelconque ^ et la transformation prolongée est encore réversible et jouit de la |)ropriété de conserver le contact d'ordre <i entre deux surfaces en général.
TRANSFORMATIONS DE CONTACT ET PROBLÈME DE PFAFF. 5l
Lie posa le problème de trouver les transformations réversibles d'éléments d'ordre </, qui, à une surface, fassent correspondre en général une autre surface; il pensait que les T prolongées jouissaient seules de cette propriété ; Bàcklund prouva'que cette vue était juste [1 ] . Pour nous limiter au second ordre, ce fait peut se formuler de la façon suivante : le système de Pfaff
1 dz — p (Ix — - q dy = o.
(4i) , j dj> — /■ du.- — s dy = o,
{ dq — s dx — t dy = o
n'est transformé en lui-même que par des transformations qui conservent sa première équation.
L'insuccès de cette tentative de généralisition tient essentiellement à la diflféronce profonde qui existe entre les propriétés d'une équation de Pfair et celles d'un système d'équations de Pfaff. Toutefois, le svslème (40' ^i^isi que les systèmes analogues correspondant à un ordre quelconque, et quel que soit le nombre dos variables indépendantes, sont des systèmes de Pfaff qui jouissent de propriétés particulières. Pour les mettre en évidence, nous nous appuierons sur (juelques considérations générales relatives aux systèmes de Pfaff que nous allons rapidement esquisser ; nous aurons acquis en même temps le moyen d'indiquer une voie où l'on s'est engagé en tentant de généraliser les T.
23. Classe et système caractéristique d'un système de Pfaff. — Soit un système de h équations de Pfaff en ^| , . . . , ^ « :
l oj| = an c/./', H- (?|.y^/j"2 -+-. . .-h «j„ dx„ = o.
' 10/, = «/, 1 ^''•^1 -i- ^ (Inn 'f-''n = O.
La classe de ce système est égale au nombre minimum de variables au moyen desquelles il peut être exprimé, soit c.
Le système caractéristique de (42) est le système associé des tormes
Wi. ..., O)/,; [Wi, . . ., co/,, w',]; ...; [(o, w/^. (O/, ].
On le démontre par une méthode analogue à celle qui nous a servi pour le théorème correspondant relatif à une expression de Pfaff ( § 5).
On retrouve comme application les conditions de complète întégrabilité de (/j^), dont nous nous sommes servis (§ 17) :
oj'i = o, . . . , io',i := o ( mod oj| , . . . , w,i).
Système dérivé. — Nous disons qu'une équation de PfafF12 appartient au système (42) si
et qu'elle appartient au système dérivé de (42) si, en plus,
O' ^ o ( mod tO| , . . . , co/, ).
Le système dérivé est donc défini j)ar toutes les équations de (4^) indépendantes entre elles qui jouissent de cette propriété. Par exemple;, le système (40 admet un système dérivé composé de sa première équation.
Le système dérivé d'un système est covaiùant de ce système par rapport à tout changement de variable.
On définit les dérivés successifs qui jouissent de la même propriété de covariance.
24. Impossibilité de transformations de contact du deuxième ordre. — Toute transformation qui laisse (4 i) ^^^^^'^'^^ ^^^^ laissez* invariant son système dérivé, c'est-à-dire dz — p da: — qdy = o, c'est donc une T jirolongée.
Supposons que nous établissions une relation entre a:, y, z, /;, q, r, s, (.;\e système (4i) devient de classe 7, mais admet encore comme système dérivé sa première équation seulement. On démontre aisément que, réciproquement, tout système de trois équations de Pfafl'à sept variables et de classe 7, admettant un système dérivé composé d'une équation de classe 5, peut être associé à une équation aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes [24], On en déduit que les seules transformations réversibles entre surfaces intégrales de deux équations du second ordre qui conservent le contact du second ordre sont les T prolongées.
Ces résultats s'étendent sans difficulté aux transformations d'ordre quelconque quel que soit le nombre des variables.
25. Transformations de surfaces par abaissement de l'ordre du contact |i, a, loj. — Pour préciser, proposons-nous de trouver des
fonctions X, Y, Z, P, Q de x^ j, 5, p, q, /•, 5, i, telles que
dZ — Pcni — Q (l\
— p{dz—pdx — q dy) -4- l{dp — r dx -^ s dy) t- \x{dq — s dx — tdy)\
nous sommes conduits à des transformations qui changent en général deux surfaces ajant un contact du deuxième ordre en deux surfaces ayant un contict du premier ordre ; mais ces transformations ne se font que dans un sens; elles se prolongent en permettant d'exprimer les dérivées d'ordre n de z au moyen des coordonnées d'élément d'ordre n + I de z. Elles ont des applications à la théorie des transformations des équations aux dérivées partielles du deuxième ordre, mais surtout l'étude de leurs singularités est intéressante. Cela s'applique, quelque soit le nombre des variables dont dépend z et aussi quel que soit l'ordre de ses dérivées qu'on fait intervenir. L'élude des transformations que nous envisageons met en évidence certaines catégories d'équations aux dérivées partielles qui jouissent de propriétés particulières quant à la structure de leurs intégrales et quant à la possibilité de les transformer en une autre équation. D'ailleurs, ce ne sont pas seulement des équations uniques qui sont mises en relief, mais aussi des systèmes d'é(|uations en involution de types particuliers et qui se présentent ainsi tout naturellement comme sujet d'étude.
26. Problème de Bâcklund généralisé [rot/' fascicule VI du Mémorial (')]. — On est donc conduit à des transformations qui concernent, non plus toutes les multiplicités de l'espace, mais seulement les multiplicités intégrales de certaines équations ou certains systèmes d'équations aux dérivées partielles. Bâcklund, le premier, s'est posé un problème de cette nature [3], en se donnant a priori quatre relations entre les coordonnées de deux éléments du premier ordre de l'espace ordinaire ; on peut remplacer ce système de quatre relations par d'autres systèmes plus compliqués [10], mais il faudra bien toujours être guidé par quelque idée pour leur choix, et c'est, en général, des considérations géométricjues qui dictent la façon de choisir. A de tels systèmes, on peut faire correspondre des systèmes d'équations de Pfaff, et c'est en somme, à l'élude de ces derniers systèmes qu'on se
Q) Nous signalons que page 5o de ce fascicule, ligne 12, il faut lire entre parenthèses 12 au lieu de 1 1.
ti'ouve ramené, mais là encore, ces sysLèmes ne sonl pas pris au hasard : ce sont des systèmes de PfafFqui se présentent dans la théorie des équations aux dérivées partielles qui interviennent.
Par exemple, à toute écpiation du second ordre, on fait correspondre un système particulier de trois équations de Pfaff, de classe n et réciproquement; mais si l'équation admet des caractéristiques du premier ordre, ce système comprend deux équations qui forment un système de classe 6. De même, à toute équation du troisième ordre, on peut faire correspondre un système particulier de six équations de classe 1 1 ; pour des équations [jarticulières, ce système comprend un système particulier de trois équations de classe 8 ou de quatre équations de classe 9 [H, 12, 22].
On peut aussi considérer, selon les idées de M. Vessiot, les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles corrélatifs des systèmes PfafF [34].
27. Tandis que l'étude des transformations de contact se confond avec celle des transformations d'une équation ou d'une expression de Pfaff quelconque, celle des transformations auxquelles nous sommes conduits ont rapport à des systèmes de Pfafi", de structure particulière.
Mais il y a une manière plus catégorique de concevoir la généralisation des T : c'est d'envisager les transformations qui laissent invariant un système d'éf|uations ou d'expressions de PfafF; on est amené ainsi à un problème difficile que, grâce à ses méthodes, M. Carlan a pu traiter, édifiant ainsi la théorie de la structure des groupes infinis de transfôrmallons [7'] ; ce point de vue englobe, en un certain sens, le précédent comme cas singulier.
Enfin, il convient de signaler que Kantor [30] avait conçu l'idée d'étudier les transformations qui laissent invariante une forme bilinéaire alternée de différentielles, c'est-à-dire, en somme, une forme différentielle extérieure quadratique, en établissant un [>aral]èle entre ce problème et celui de la recherche des propriétés invariantes d'une forme quadratique ordinaire de différentielles, c'est-à-dire un ds'; il s'est d'ailleurs borné au cas d'une forme différentielle extérieure quadratique dérivée exacte, qui est de beaucoup plus simple que le cas général traité ici.
