MÉMORIAL DES SC. MATH. — N
3o G. CERF.
est com|)let et admet le système d'intégrales
-^I) ■■■y ^n'i " in+lj •••) "n^
et que de même le système
est complet, admettant les intégrales
V V " ni-t-2 ^n' -'^1, .-., A„, , ..., •
Les transformations de contact homogènes forment un groupe.
13. Autre démonstration des résultats précédents. — M. Goursat [23] a donné de l'établissement des formules fondamentales des T une démonstration qui repose sur un lemme de caractère algébrique; par ailleurs, S. Kantor [29] avait déjà donné des indications sur une démonstration de cette nature. Voici comment on peut rattacher une démonstration analogue à celle de M. Goursat aux méthodes que nous avons employées jusqu'ici.
Occupons-nous d'abord des transformations enx,p; nous venons de voir que leur détermination revient en somme à celles des transformations qui laissent invariantes la forme différentielle extérieure quadratique
[ (fp I dXi ]-)-...+ [ (/pn dXn ],
ou, ce qui revient an même, la forme bilinéaire alternée
(dp^ o.r, — r/,r, 8/>i ) +. . .-h(dp,i ôj;-„ — dj"„ op„ ).
La question est ainsi rattachée à celle de la recherche des transformalions homographiques qui conservent un complexe linéaire; mais on peut la traiter directement.
On montre d'abord que si les 2 Ji expressions de PfafT: cr, , gt^, ..., w^n aux 2 n variables Xf, . . . ^ p^ satisfont à la relation
[ HT, TÎT2 ] -t- ...-(- [ CT2/i-1 ^2,, ] = [ dp , d.t'i ]-+-...-)-[ dpn dx„ ],
elles sont linéairement indépendantes.
TRANSFORMATIONS DE CONTACT ET PROBLÈME DE PFAFF. 3l
On pose ensuite :
In n
Substituons dans la relation (a5) à cT^i et à d'^i les expressions (26) et identifions les deux membres, nous obtenons les relations
/, 'l~ik~lh — '^ikV-ik= "-kh
^ o si k^h j I si A' = h
/ ^ \^ik~ih — \^ih ~ik — o
Grâce à la remarque préliminaire, on peut procéder à l'inversion des relations (26), et du reste le calcul donne
l ^ "/A <l^i — ^ V-jh "'^/ =7i '^l'k dxk = dxk, { ^^ik\d\i-y^ l.,,l\>.=^^,,,,lp,^-dp,,
d'où T'^'n déduit le système (29) équivalent à (2^) :
[ ^ ;-'-/A À,7, — ;j.,/, \jj, = o.
c'est-à-dire
(3o) (X,-, Py) = s,7, (X,., Xy) = (P,, P,) = o.
Réciproquement, on constate sans peine, en remontant les calculs, que si les 2/i fonctions X, P des oc, p satisfont aux relations (3o), elles vérifient identiquement (25).
On déduit aussi de ces calculs l'expression suivante, qui est utile,
de la difFérentielle d'une fonction 9 des x, p :
d^ =2^?' Xv)^Pv-(?, Pv)f^Xv.
Pour passer au cas d'une transformation de contact quelconque, il suffît d'observer qu'en tenant compte de la relation 0:» = o, on doit avoir
^[dXtdVt]^^^[d.r,dptl
Dans les formules (26), on considérera alors les X/;^, «t/a comme les dérivées totales des X,, P, par rapport aux dx^^ par exemple
>'ik = 33 'r- Pk -T-'
OXk oz
Dans les formules (27) et (28). t^h est à remplacer par ps^A, de sorte que les relations (3o) se modifient en remplaçant la parenthèse par le crochet et tij par p£//.
On a ensuite
qui fournit les formules relatives à Z.
14, Transformations d'une expression ou d'une équation de PfafT en elle-même. — Les identités symboliques dont nous nous sommes servis pour établir les formules fondamentales des Tne supposent pas que les variables qui figurent dans les différentes formes de Pfaff et fonctions qui interviennent soient des variables canoniques; elles subsistent donc quand nous supposons simplement que les variables sont caractéristiques, sans plus, et que par conséquent les formes &> et Q. ne sont pas réduites à une forme canonique; c'est ce qui aura lieu dans ce paragraphe.
Correspondant aux diverses catégories de T, nous envisagerons successivement les transformations qui conservent l'expression w', celles qui conservent l'expression w, celles qui conservent l'équalion oj'= o.
(Comparez Chapitres XII, XIII et XIV de [9].
Transformations co/iseruanl <,^' . — Le cas le plus intéressant est
celui OÙ 00 est de classe paire; il a été l'objet d'une étude directe de S. Kantor [29] mise au point par M. Engel [19J. Nous supposerons que le nombre des variables est 2/1'. La propriété fondamentale des transformations envisagées est l'invariance de la parenthèse relative à deux fonctions.
Avec les notations précédemment employées
on en déduit les conditions nécessaires pour que la transformation
X,-= Xi{Xi, . . ., X2„') (f = I, 2, . . ., 2/1')
conserve oj'
(Xo X,)
ces conditions entraînent l'indéjjendance des X considérés comme fonctions des x et sont suffisantes pour que la Iransformation jouisse de la propriété indiquée.
La forme o) diffère de sa transformée 0- par une fonction U des ce que l'on obtient par une ([uadrature; on peut d'ailleurs ajouter à U, par exemple, — Z + ^ et en adjoignant aux formules de la transformation sur les X la relation Z = ^ + U, on définit une transformation qui conserve w + dz à une difFérentielle exacte près.
Transformations qui consentent w. — En outre de la parenthèse relative à deux fonctions, nous avons à envisager l'accolade relative à une seule fonction qui nous fournissent des expressions covariantes absolues aux fonctions considérées. Rappelons que (§9)
'■' ^ Zj a àxi >^' ' Zàk, dxi
suivant que «jj est de classe pair ou impaire.
Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une transformalion conserve ùj sont :
OU
TransJoiTnations qui conservent (0 = 0. — Nous conservons dos notations analogues à celles dont nous nous sommes servis pour les T et nous supposerons que p est différent d'une constante. On a la relation
Les relations entre les 2/î + 2 fondions X,, . . . , X,,,.^,, 0 sont alors On a de plus l'identité
d'où les relations
''Al
P X>,|-(p. Xy).
Remarques. — a. Toutes les expressions { jj ( ) que nous avons considérées peuvent être définies eu remplaçant clf, ou df e\.d(Sf par des expressions de Pfaff quelconques.
b. La nolion de transformation infinitésimale de contact [34] dont nous n'aurons pas à nous servir. par la suite, s'étend aux transformations généralisées que nous venons de définir [19].
