Trois mémoires

I. Les diverses caractéristiques employées dans l'analyse mathématique, n'ont pour but que d'indiquer par un seul signe ou symbole, une opération simple ou composée à effectuer sur la fonction qu'elles affectent. C'est ainsi qu'on a adopté, entre autres, la caractéristique A placée devant une fonction, pour représenter d'une manière abrégée, la différence entre la valeur que prend cette fonction par suite d'un accroissement fini de sa variable x ^ et sa valeur primitive. La nouvelle fonction de X qui en résulte, étant susceptible de la même opération, on a été conduit alors à indiquer cette double opération par la caractéristique A', au lieu d'écrire AA; et, en général, si l'opération dont il s'agit devait être effectuée n fois de suite, il était naturel d'en représenter le résultat à l'aide de la caractéristique A" placée devant la fonction primitive, par analogie avec la notation a" due à Descartes ^ pour indiquer le produit de n facteurs égaux à la quantité a. Ce dernier mode de notation, en reculant les bornes de l'algèbre ordinaire, a donc servi plus tard à perfectionner l'emploi des caractéristiques, et à contribuer par là aux progrès de l'analyse transcendante. Mais jusqu'ici ces caractéristiques dont le nombre augmente successivement, semblent rester destinées, à n'être

KOCV. MÉ». PHÉM. CLASSE DEL'iiTSTIT. TOM. VI. 1

employées que comme des symboles d'opérations, quoique deux savans géomètres modernes Lorgna ei Arbogast eussent déjà proposé quelques nouvelles vues à cet égard, en montrant que ces symboles pouvaient encore être considérés comme des quantités, et détachées des fonctions mêmes; procédé qui constituait, d'après ce dernier géomètre, la séparation des échelles de dérivation ^ et d'où devait résulter une espèce d'algorithme pour parvenir très simplement aux formules de développement, démontrées dans le calcul aux différences finies. On a lieu de s'étonner que des géomètres du premier ordre n'ont pu donner leur assentiment à ce nouveau genre de calcul dont l'idée leur avait paru un peu hazardée , ses procédés ayant d'ailleurs quelquefois conduit à des conséquences erronées ou paradoxales {'^). Malgré l'effort tenté depuis par un estimable géomètre M. Français , pour établir la justesse de l'idée heureuse due à Arbogast (-j-) , et malgré la conformité des résultats avec ceux obtenus par les méthodes ordinaires , la défaveur primitivement jetée sur la théorie dont il s'agit, parait néanmoins avoir exercé une influence nuisible sur les progrès dont elle était susceptible. Telle est probablement la cause qui a produit l'abandon total auquel cette théorie a été condamnée jusqu'ici. Toutefois , et que Ton nous permette cette observation dans l'intérêt de la science, un examen plus approfondi de la marche de ce calcul, aurait sans doute fait reconnaître , qu'il a un fondement réel dans la nature des caractéristiques, et (ju'il importe de le conserver, comme oflrant un nouvel instrument propre à étendre les ressources de l'analyse, et à mettre sur la voie de nouvelles découvertes analytiques. Au surplus , nous ne craignons pas

(*J La çrou. Traité du cale. dijf. et inlegr. Tom. HI , pag. 726.

(t) Annales de mathem. pures et appliquées. Tom^ III , pag. 244. Ce n'est qu'après avoir terminé mqn mémoire que j'ai pu prendre connaissance du travail de M. Français. En le comparant au mien , on remarquera que la matière s'y trouve traitée d'une manière diflerente , et non pas avec tous les développemens qu'elle comporte; que d'ailleurs les notations adoptées par ce géomètre s'écarlent des miennes, pour ce qui concerne les fonctions, à deux ou plusieurs variables; de sorte que mes recherches pourront,, je pense, ne pas être regardées comme superflues après la publication de l'intéressant travail que je viens de citer, et qui assigne à son autei» une première place parmi les partisans des idées d' Arbogast.

d'aifîrmer , que les conséquences paradoxales , invoquées pour motiver le rejet de la théorie , n'ont pu résulter que d'une fausse application de ses véritables principes , et ne peuvent nullement être attribuées à la théorie elle même.

Le présent mémoire contenant quelques nouvelles recherches sur cette matière, pourra contribuer, j'espère, à faire revivre et à perfectionner une branche d'analyse qui m'a paru tout a fait digne de l'attention des géomètres. Les considérations que nous allons exposer serviront à établir la rigueur des principes que nous avons cru pouvoir adopter comme base de la théorie des caractéristiques.

2. Supposons qu'on ait à effectuer sur une fonction m de ^, une suite d'opérations simultanées, indiquées par les signes ou symboles a„, a^A, a. A*, etc. , dont le premier représente un facteur ordinaire. La fonction résultant de la somme de ces diverses opérations, s'exprimera par la série

au + a Au 4- a A^u -f- etc.

Or, rien n'empêche d'adopter un nouveau signe LI, à placer devant la fonction 2<, pour représenter r ensemble de ces opérations partielles; ce qui revient à poser l'équation ou identité caractéristique

a„ H- ai A + œ. A* 4- etc. =n d'où l'on tire d'abord

«^ w + a. Au -H a, A*m 4- etc.=nî«= <a^ -f a^A-ha^A* +etc.|w.

où l'on voit que le polynôme provenant de la séparation des caractéristiques, ne doit être regardé que comme une caractéristique unique, qui représente l'ensemble des opérations indiquées par les diverses caractéristiques appliquées à la fonction. Il est visible d'ailleurs qu'une telle séparation sera toujours permise dans ce sens, quelle que soit la nature des caractéristiques partielles , dont l'ensemble constitue la fonction Il M.

5. En désignant avec Arbogast par Eux^ Péfat varié d'une fonction

de a; y c'est-à-dire la valeur qu'elle obtient par le changement de x en x-\- 1 , cette notation entraine l'équation identique.

la caractéristique A indiquant l'accroissement qu'a subi la fonction dans le passage de x k x+i. Or, d'après ce que nous venons de voir, il est permis d'écrire l'équation précédente sous la forme simplifiée

d'où il suit que la caractéristique J? pourra toujours être remplacée par la caractéristique binôme (i4-A) qui lui est équivalent; de même qu'il résulte de l'équation

Aw, = ^ M, — tt, = (E—i) w,.

que l'on pourra remplacer la caractéristique A, par celle binôme (E — i ); et c'est dans ce sens qu'il est permis d'établir les relations caractéristiques:

Puisque JEu^ est identique avec Wr+i , on voit que pour passer de m^-i-, à Wx-j-, , ce second état de la fonction devra être représenté par F. E m, ou plus simplement par E'u^, où l'exposant n'indique qu'une répétition de l'opération primitive , à l'instar de la notation A' u^ ou d* u^. On en conclut sans peine que la valeur générale de la fonction qui repond à un accroissement n quelconque de la variable, c'est-à-dire de Wr-f-n, s'exprimera par J?"M,ou bien par (1+ A) "M,, en vertu des équations(i). Partant l'expression J?—" w, désignera m,— «, ou en d'autres termes, la fonction dont la variable doit subir n fois l'accroissement w%, pour réproduire la fonction primitive w,; de même que A—" w, ou Z" u^ sert à représenter la fonction dont la diiference finie doit être prise n fois de suite , pour réproduire M,. C'est ainsi que les exposans négatifs aflectés aux caractéristiques, quelque soit la nature de l'opération que celles ci indiquent, servent toujours à énoncer une opération inverse , répétée autant de fois qu'il y a d'unités dans ces exposans.