Si dans l'équation
on change x en jc-\~i , ce qui revient à passer de l'état primitif a l'état varié , il viendra
OU bien
AE Ux=:E Mx+» — E Uj.z=iE {uxu^ — Uj.) =: E Aux
d'où l'on voit que la double opération indiquée par la caractéristique composée AE ^ donne le même résultat que celle indiquée par la caractéristique composée E A; ce qui veut dire en d'autres termes , qu'il est toujours permis de changer l'ordre de ces deux opérations distinctes. Il en serait de même en combinant deux à deux, les trois caractéristiques A, -É", d, ainsi qu'il est facile de vérifier; l'on pourra donc établir les équations caractéristiques.
AE = EA. dE=:Ed. d A = A d
d'où dérivent encore celles ci:
d Ai? = d^A. Ad^ = AJ^d. ^dA = EAd.
conduisant toutes au même résultat , et qui montrent déjà l'analogie entre les caractéristiques composées, et les produits de la multiplication de quantités quelconques.
5. Mais la propriété commutattve que nous venons d'énoncer relativement aux trois caractéristiques A, E,d, s'étend encore à toutes espèces de caractéristiques simples ou composées. En eflFet , quelle que soit la nature d'une opération à effectuer sur une fonction donnée u , il sera toujours possible d'en exprimer le résultat au moyen des différences finies de cette fonction , ou bien de ramener le résultat à cette forme » s'il contenait dans ses termes des coefficiens différentiels de divers ordres, vu les relations connues qui existent entre ces dernières quantités et les différences finies des mêmes ordres. Supposons, pour fixer les
idées, que la caractéristique II, représente l'ensemble de trois opérations indiquées par les caractéristiques a A*, 6 A'^, c Ay ; c'est-à-dire, que l'on ait l'équation identique.
nM = aA«w4-ôA^w-l-cA>'M
= (a A^ H- 6 Af^ + c Ar) w
Supposons en outre que la fonction H u doive être soumise à une seconde opération indiquée par la caractéristique
n' = a A^' + d'A^^' + c'An
Le résultat de cette double opération s'exprimera évidemment par l'éqùation
n'nw = an'A^«-f6n A^w + c-nA^^w. (a)
Quant à la valeur de chaque terme , le premier donnera
D'ailleurs puisqu'on a, d'après le calcul aux différences finies,
la valeur de II A^,®, pourra s'écrire encore sous la forme
et fournit ainsi l'équation
n'A''w=A*Il'w;
ce qui établit la propriété commutative des caractéristiques II, A. L'on aura donc identiquement ,
« n A* M = a A*. Il' w j
bU'A^u=^fjAI^.Tl'u (B)
cil A^w= cAntl'w' )
Ajoutant ces trois équations, il viendra en vertu de (A)
n' n M = (a A^ rt- 6 AA 4r.c Ar>i\nw= n ii' u
ce qu'il fallait prouver.
Cette démonstration étant indépendante du nombre des termes qui composent la valeur de chaque caractéristique , on en conclura , que la propriété dont il s'agit est générale, quelle que soiî la forme de la caractéristique , pourvu toutefois que les coefficiens qui affectent les divers termes en A soient des constantes. Mais on pourra s'en assurer encore , en évaluant les quantités II II m , THI'm, en fonction des différences finies de u. Pour cela les relations (B) nous donnent
a II' A* w = a a A^+'^'m 4. a ô' A^+/^' u-\-ac A'^+y' u 6 II' A'^ M = 6 a A/3+ «* w + 6 ô' A-s-f/s w + 6 c' A/^H-r' u c II' A^- w z= c a A7+^' u-\-cb' Ay+^' u-hcG Ar+r' u
d'où l'on tire, en vertu de l'équation (A),
WUu = aa A*+«' u-hab' A*+/3' u + ac A^+y' u (G)
-h b a A(3+«' u+ bb' A^+^' u + bc A(3+y' w 4- c a A^-l-*' M H- c 6' AV+/3' u+cc Ar+y ' u
En partant de l'équation
Yïu=za A^'u + b' A^'u + c'Ay'u
= {a A» + b' A(3' -f- c' Ay') u
pour en déduire, conformément à la marche précédente, la valeur de nn w, on trouverait un résultat identique avec celui indiqué par l'équa tion (C), d'où l'on conclut de même II 11^ = 1111 m, quelle que soit la forme de chacune des deux caractéristiques, pourvu qu'elle remplisse la condition ci-dessus énoncée.
Il importe maintenant de faire remarquer , qu'en détachant dans le second membre de l'équation (C) , la fonction u des caractéristiques A, le polynôme placé devant cette fonction, et servant de caractéristique composée pour représenter 11' Il ou II II', formera précisément le produit des deux trinômes
aA« + 6A^H-cA>', a'A«'4-6'A'3'+c'Ar,
en y considérant le signe A , comme représentant une véritable quantité au lieu d'une opération algébrique. Ceci résulte évidemment du procédé même d'après lequel on a obtenu la valeur ou l'expression de cette caractéristique polynôme , et qui est tout a fait analogue à celui de la multiplication de deux trinômes ordinaires. Cette propriété importante qui sert de base à la théorie des caractéristiques, confirme d'ailleurs la justesse de la relation II' 11 =: Il H', attendu que la valeur d'un produit ne change pas, en intervertissant l'ordre de ses facteurs.
6. Il n'est pas nécessaire de supposer que l'opération indiquée par un des signes II, II', se compose exclusivement des différences finies des divers ordres; on pourra y faire entrer à la fois les coefficiens dijfférentiels de u. Si, pour l'uniformité de la notation, on adopte, ainsi que nous le ferons dans ce mémoire , le signe d pour représenter la fonction
prime ou le premier coefficient diff'érentiel i- , et par conséquent d"
pour exprimer celui de l'ordre ?^, chacune des deux opérations dont il s'agit pourra être énoncée plus généralement de la manière suivante;
n = a + 6d''4-ca"'-4-....
-h « A*' -f i8 A'^' -j- y AT'' + etc.
+ A A*" -4- B A^" + C A^" -h etc.
et il est clair qu'il suffira de même de multiplier ces deux équations, pour obtenir le résultat de la double opération (Tl II) , en fonction de quantités de la forme k A'* b^u.
En généralisant ces idées, on en conclura facilement , qu'étant don^ nées les deux équations caractéristiques :
XI = a + 6 n -I- c n' + «f n' H- etc.
ii'= a' -I- 6' n' + c' n'^ + «r n'^ -f- etc.
Ja fonction représentée par II' Il m ou fL£l'u aura pour valeur r(a-|TÔn + cn*+ etc.)(a4-ô'n'4-c'n"4- etc.)lw,
Ou n'aura donc qu'à développer par les procédés connus , le produit indiqué entre les deux crochets , afin d'évaluer le résultat de cette double opération en fonction des quantités de la forme k TI* H*^ u , lesquelles pourront à leur tour être exprimées en fonction des diJBFérences finies ou des coefficiens différentiels de w, chaque fois que la composition des caractéristiques II , H' sera donnée en A et c).
Bans le cas particulier de II' nz II , il viendra évidemment £Vu = (a -h m + cil' + etc.)' u , et en général
I2,''M = (a + 611 4- cTl* 4- ete.)" u ,
où l'exposant n dans le premier membre de cette équation , n'indique (ju'une opération effectuée n fois de suite sur la fonction u , à l'instar des notations A''w, d''w,Il''w. Eu prenant cet exposant négativement , la fonction XI— " M , désignera le résultat de l'opération inverse appliquée n fois de suite à la fonction primitive.
y. La séparation des caractéristiques offre très souvent l'avantage de pouvoir exprimer d'une manière très concise , des expressions polynômes dont les termes procèdent d'après une loi connue. En effet soit la relation caractéristique
n' = a + 6 n 4- c n^ + ^ n' 4- etc.
et supposons que le développement
a-\'hx-\-cx^-\-dx*-\- etc.
représente la valeur d'une fonction algébrique ou transcendante ^(^); il est visible que la caractéristique II' pourra être remplacée alors par le signe <îî(ri), de sorte qu'il sera permis d'écrire
a M 4- 6 n M H- c n* M 4- 0^11' M + etc. = [(p (II)] w
quelle que soit la nature de la caractéristique II.
JKOCV. HÉH. PBÉX. CLASSE SE l'iiTSTIT. TOM. VI. %
Ainsi , en dénotant , d'après Laplace , par V y^; , la fonction polynôme
ayx-^ à ijx-^i + c l/x-i-i + etc.
on aura , en vertu de Ta notation yar4-n = ^"ya:. adoptée ci-dessus (n° 3)
Vy^ =z{a + b£-^ cE' + dE' -f- etc.) tj^ ou bien VVx = [<P (E)] y^
et en général V^x = [<P (E)]" yx
De même les développemens particuliers.
ï^^ + Awx + ^ A 'w,, H- ^ A' ?^^ + etc.
Wj. H- n d M^ -f -^ — ^^ d* Wa- H- -^— ; — ^— — d'wj, + etc,
etc. etc.
dont la loi de formation est évidente, pourront être énoncées plus simplement par les expressions équivalentes
(e^)««^. {cosE}u,r, {i+d)»îf^.
Mais un des plus grands avantages résultant de la séparation des caractéristiques, et qui ne jiaraît pas avoir été remarqué jusqu'ici, c'est qu'il est permis de transporter la vai'iahilité de la fonction à la caractéristique même , de manière que celle ci se transforme en une véritable fonction de la variable cr , susceptible par conséquent, de différentiation , d'intégration, et en général de toutes les opérations qu'on peut appliquer aux quantités variables. Tel est le nojaveau point de vue sous lequel on peut traiter le développement des fonctions analytiques , et dont nous allons ijous occuper spécialement dans ce mémoire. A cet
effet notre travail sera divisé en trois parties. La première traitera des fonctions à une seule variable ; la seconde de celles à deux ou plusieurs variables. Leurs développemens y seront déduits directement des fonctions caractéristiques et des relations qui existent entre celles ci , sans récourir au théorème de Taylor , qu'on verra découler lui même comme une conséquence de nos principes. La troisième partie contiendra l'application de la théorie des caractéristiques à la recherche de la valeur d^une classe étendue d'intégrales définies.
§ 1 . Développement des fonctions (Tune seule
variable,
8. Nous avons vu précédemment qu'en adoptant la caractéristique ^ pour indiquer l'état varié d'une fonction mx, produit par un accroissement égal à l'unité de la variable x , on pourra écrire l'équation identique.
l'exposant de E énonçant le nombre de fois que l'opération indiquée par cette caractéristique a été effectuée. En vertu de l'identité des caractéristiques jE',(i+A), cette équation revient à
Développons, d'après ce qui a été exposé au n». 6, le second membre de cette équation, on en tirera directement la série connue
ux^a = ^:r + « A^^ H- "~^^^=^ A' u^ + "''-~^- '" A^^^ 4- etc. (2)
servant à interpoler une suite de quantités qui procèdent d'après une loi donnée ; on aura de même , en prenant a négatif.
1 2 THÉORIE DES C \ RACTÉRISTIQUES.
L'équation (2) suppose à la vérité que l'exposant a soit un nombre entier, mais il ne sera pas difficile de prouver qu'elle est également applicable au cas où cet exposant serait un nombre fractionnaire. En effet faisons a = -, m elp étant deux nombres quelconques ; il est permis d'éta-
blir a priori que la fonction Ux-\-m , peut toujours être développée sous
la forme suivante
M^ -f- A Am^ + B A*w^ 4- C A'wa: -I- etc. ,
où les coefficiens constans sont des fonctions de m , p seulement. Pour les déterminer, on observera qu'en supposant dans cette dernière série, m=zo , mz=.p^m=.ip ^ etc., elle se réduira successivement à la série (i) après y avoir fait az=.o ^ a=l, «=2, etc. On en conclura d'abord que tous les coefficiens A, B, etc., contiendront la quantité m comme facteur; que ces mêmes coefficiens à partir du second B , seront en outre divisibles par m — p\ que ceux, à partir du troisième C, le seront encore par m — •2j», etc. Le développement dont il s'agit, pourra en conséquence être présenté aussi qu'il suit.
ux+m =:iUx-\-ce>m Aux r (2m(m — p) A^Ux-{^ym (m—p) (m — Qp)A*u^j^ etc. (3)
Changeons maintenant m en m+p, il en résultera
Ma;-hx4-m=Wx+ «(w + jo) Aw^-f ^w(w i /?) A'w^+^(m — p)ni{m-i-p)A'u^-\-eic,
Mais en écrivant x+i au lieu de x dans la série (3), celle ci donnera également
ux^^+m = Ux-\-^ -f » w A Ux.^ » H- /3 m {m—p) A* Ux-^^ (4)
-^ ym{m — p) {m — 2/>)A* Mar+, 4-etc.
el en y remplaçant «x-|-, par (l-\-A)ux, elle se changera en
MA^-l-t-m = u^ 4- {ob w+i) Am^ + m {o6-{-(B {m—p))A*u^ p
H- m {m—p) (/3+y {m — i p)) A'm^+ etc. (5)
Les séries (4) et (5) devant être identiques, la comparaison des termes analogues nous donnera immédiatement pour les valeurs des coefficiens »» /S, y» etc. les relations
« = i. /3=-i-. y=-^ etc.
En les substituant dans la série (3) , il viendra
«,+. =[ 1 + ^A + ^ii^zif A» 4.^-^-/^-^^-^/^A-+ etc.Jw,
ou bien m m
p ce qu'il s'agissait de prouver.
D'après cela , si dans l'équation
ttar+o == E'* Ux
on change ^ en a et réciproquement , on pourra écrire encore
quelle que soit la valeur de la variable x. Si l'on prend a=o, il s'en
suivra
ce qui fournit un nouveau mode de notation pour exprimer une fonction quelconque de a;, et qui nous sera très utile dans la suite. On en déduit d'abord
tt, = ( i + A)^ «„ = «„ + xù^u^ -h ~^ A'u, + etc. (6)
série qui exprime le développement d'une fonction de «, au moyen
de ses dififérences finies de divers ordres, correspondantes à ^:=o.
La relation caractéristique A=E — i , fournira pareillement le développement général
A''u = {I! — iy'u = u„ — wwn-i + '-Y7^^«-» — ^^^' ^^^
Il suit encore de la relation (^— A)^ = i , et en observant qu'en général
E^ A^ w„ = A^ EP M„ — A^u^
C'est delà même manière qu'on déduit de la relation
jE^+a r=^^+« (E — A)-^
w^^.„=^*+«tf„=w„+^AM«-x+-7^A Wa-.+ ;:;j—A Wa^,H-etc.(8)
en ayant égard à l'équation E'^-P APu^ = Ap Ua-p.
Si au lieu d'égaler à l'unité l'accroissement constant de la variable,
on suppose Aa^=», de sorte qu'on ait
Aw^ = War-f-a «x
ou bien
. Ux-^oi = War + Aua: = ( I +A) U-r
il s'en suivra évidemment
M^+X«— (l+A)*Wx.
Faisant A<»=w, on en déduira la formule n
U.^n= (l+A)%. = t.,Hh^- A^..+ f^: A'u.
...-«.-.^^3^^ etc. (9)
qui est plus générale que le développement (2). La quantité oi ayant une valeur arbitraire , on voit que cette série pourrait remplacer l'autre, lorsqu'il s'agit de développer des fonctions périodiques qui donnent Us = «jH-1 = Wa;-i„ , n désignant un nombre entier quelconque; d'où résulterait pour la série (2) , A î<^ m A* u^ etc. = o, dans quel cas celle-ci cesserait d'être applicable.
g. Les séries (6) à (9) se trouvent démontrées dans la plupart des ouvrages qui traitent du calcul aux différçnces finies , mais d'une manière beaucoup moins simple , que nous venons de le faire. A la vérité, la théorie des fonctions génératrices, due au célèbre Laplace^ a ouvert une nouvelle voie pour parvenir plus facilement aux mêmes résultats (*). Cependant, ce qui précède suffira déjà pour montrer, ainsi que l'on pourra s'en convaincre plus loin, que la théorie des caractéristiques l'emporte encore sous le rapport de la simplicité des procédés de calcul. Observons ici qu'il devient facile d'augmenter le nombre de ces formules , car il est évident , d'après la marche que nous avons suivie , que toutes les relations algébriques qu'il est possible d'établir entre les caractéristiques E, A, considérées comme des symboles de quantités, feront naitré autant de nouvelles séries de ^espèce de celles exposée ci-dessus. ii»q coL
io. Remarquons encore que toute expression de la' forme
se transforme facilement en une autre qui ne contienne que la fonction Ux et ses différences finies successives, telle que
oc 21^ + oc^ Aw^ -f ct^ A'M.r -hoin A"w.y.
Pour cela, on n'aura qu'à remplacer chaque terme w.r-}-;t = -^'^«^ , par son équivalent (j-|- A)* Wj., et ordonner ensuite les développemens d'après les puissances de A. Mais, à cause deA.^=^E — i, cette opération tant soit peu laborieuse, pourra entièrement être évitée , en appliquant
(*•) Théorie analytique des probabilités. Liv. l* , premièio partie.
ici l'algorithme dû à "M.. Budan , -pour diminuer d'une unité, les racines d'une équation numérique d'un degré quelconque. Soit par exemple l'expression
MjP + 8 Mj,+ , lO Mx-H, -f- 1 '^ «x-f ,.
La transformation dont il s'agit s'eifectuera très simplement à l'aide du petit calcul suivant :
donc l'expression donnée sera équivalente à
1 1 W^ + 24 AMj, + 26 A*Uj. + I 2 A'Uj;
et ainsi des autres du même genre.
L'opération inverse de la précédente pourra s'effectuer d'après le même procédé , en ayant soin seulement de changer les signes qui affectent les coefi&ciens des puissances impaires de A, ainsi que le prescrit l'algorithme dont il s'agit. Nous aurons plus tard l'occasion d'en montrer également une application.
1 î . Passons maintenant à établir les rapports qui existent entre les coefficiens différentiels d'une fonction de x, et ses différences finies des divers ordres. Nous avons vu ci-dessus (n.°6), qu'en représentant une fonction w par E^ u^ ou (i-f-A)^w„, la variable x qui affecte la caractéristique , se comporte dans le développement comme un exposant de la base ^ ou i -HA. Cela posé l'équation
étant différentiée par rapport à x, nous donnera immédiatement
^= ÔM = {è£j) w, = logJE. E^u^ = logE. wx = /o,ç(i+A)tt.
Le facteur /( 1 4- A) désigne ici une nouvelle caractéristique d'opération, de sorte qu'en développant celle ci, la relation précédente revient à
— =aM = Aw— Z A*M-fi A'M — etc. (lo)
Si l'on avait quelque doute sur la légitimité du procédé qui nous a fourni l'équation (g) , on pourrait s'en assurer encore de la manière suivante. En supposant que la variable x reçoive l'accroissement fini A a:, la valeur correspondante de u, sera
d'où il suit
Amx = Wx-l-A^ —r-u^^i (^^* — 1 ) u^
Or en faisant A.a7=ro, le premier membre de cette équation se ré^ duira, d'après la nature du calcul différentiel, à -j^, et le second aura pour limite (lE)uj., ce qui réproduit la relation
^=dw=:/J£'.wr=/(i+A)w; (u)
d'où l'on déduit, par la répétition successive de la même opération,
= a«M = {IJEy'u = {/(i+A)}"m ; (i'^)
relation qui servira à développer le coefficient différentiel d'un ordre quelconque au moyen des différences finies de la fonction proposée.
Puisque la caractéristique ^~' indique une opération inverse de la différentiation , c'est-à-dire une intégration, la relation précédente donnera encore, en y prenant n négativement:
ifOUV. HÉK. FRÉX. CLASSE DE l'iNSTIT. TOH. TI. 3
: Il résulte maintenant de l'équation (i l), qu'on pourra établir les rélations caractéristiques
^z=:lE. ,e'^ = ^— l+A. A=e^ — i.
En employant les deux dernières, on parvient aux expressions
dont la première fournit immédiatement le théorème de Maclaurin. En effet après avoir développé la quantité exponentielle e^"^ , faisant fonction de caractéristique, il viendra, en observant que «3»'?^^, signifie le
coefficient différentiel -^, pris dans l'hypothèse de a;=ro , w^ =: (l+^d + — a' H- -^ a* + etc.)?*
= w +:,lfi»+£lli!f^-f.JElll!^»H-etc. '
° ÙX 1.2 d.t» 2. 3 d-T»
À l'aide de la relation Ezzze^ , on obtient encore le développement
=:m + w-— ^H h etc.
! , ^ d.r 1. 2 d.Tî 2. 3 d.r»
ce qui est précisément le théorème de Taylor ('^)
1 2. Jusqu'ici la caractéristique A a indiqué la différence finie de la fonction, correspondant à un accroissement de x égal a l'unité. Mais si cet accroissement devient n^ la relation entre A et ^ se changera en
A=zE» — i d'où l'on conclura
(*) Dans son mémoire cité, JU. Français déduit la relation E ^r e^ , du théorème de Taylor; on voit maintenant que , sans rien emprunter aux méthodes ordinaires pour le développement de» fonctions, on peut établir cette relation importante à l'aide seulement de l'équation Ux^^E'u»; et le théorème susdit en devient alors une des premières conséquences.
formule au moyen delà quelle on peut exprimer la différence d'un ordre quelconque en fonction des coefiiciens différentiels des ordres supérieurs. En prenant r négativement , cette formule donnera le développement de Y/u.
Considérons le produit a^u , dont la différence finie , en prenant celle de X égale à w, deviendra
Si l'on substitue à u une nouvelle fonction a"w„ — îi={a^* E'^ — l)u, l'équation précédente se changera en
A a^ (a"^'» — l) îi = A* a^u = «^ (a^E'^ — i)*m.
et en continuant la même opération, il en résultera la formule générale
A' a'u = a" (a'E'—'iy. uzzza' {a" e"'^— i )'. u. ( i5)
Prenant l'exposant r négatif, on «aura encore
Si l'on différentie le même produit, il viendra
^ . a' u z=. a' à u ~\- a' u l a zzz a' (b -\- 1 a) u. z=zà' {l E + 1 a), u = a', l (a E)u.
d'où il est aisé de déduire
}i\a'uz=a'{laEy u.
et en général
c>". a'uz=za'{la E}". u = a'|/ a (i 4- A) }" w. (17)
Les formules (i5), (i6)', (17)» (l8) paraissent être présentées pour la
première fois en 1777 par Laplace. Il est bon de faire remarquer ici que les intégrales (j6) (18), devront être complétées par une fonction <p{x)^ telle que d"<î>(^) = o, ce qui exige que l'on ait
(p (:r) rrr «e -f- /3 a; -I- y a;* -f- . . . . Aa;»— '.
l5. Soit la série infinie
X = a^x -4- a^x^ -\- a^x'^ -f- . . . . etc.
dans laquelle les coefficiens expriment les valeurs successives d'une fonction donnée de w, en y faisant w=i, rzi2, =3, etc. Le terme général a„ de ces coefficiens pouvant être représenté par E"a , la valeur de X prendra la forme suivante
X= la:^ + a;*^* + ^* ^' 4- etc. I a.
Or en posant -^=y, la dernière caractéristique deviendra
2^ + y^A + y'A^ + etc.;
donc en substituant, il en résultera
X = «^ y -t- Aa^ y* -h A'a y' 4- etc. (19)
série qui s'arrêtera au terme y», chaque fois que l'on aura A"a^=ra. Soit encore la série
y = A -H B:c -{- Ga;* 4- Da:' 4- etc.
Multiplions ses termes respectivement par les quantités a^, «^ , a , .... qui conduisent à des différences constantes ; il s'agit de transformer la nouvelle série
Y = Aa^ 4- Ba^a; 4- Ga^ar* 4- Da^ar* 4- etc.
en une expression finie qui soit fonction de y et des quantités domaées.
Pour y parvenir, remplaçons dans la valeur de Y, le coefficient général aJ^ par E'^a^, elle pourra s'écrire sous la forme
Y = (A 4- Ba:^^ 4- G a:* j:" + D^t'jE" + etc.) a^.
Or il est aisé de remarquer que la fonction caractéristique renfermée entre les deux parenthèses, représente précisément la valeur de y, après^ y avoir changé x en x E on a:(i-|-A) , ce qui suppose que x ait reçu l'accroissement ^A; donc cette fonction caractéristique est égale à E^^y. Développant la quantité ^^^ = e^''^, il s'en suivra immédiatement,
Y = ya^ + ^ d y Aa„ -f -îi h'y A V„ + -^ d'y A*«„ + etc. (20)
Cette série qui s'arrêtera au terme -^ — ^^>^y A"a^^ toutes les fois que
A"a^ sera une quantité constante, est due ainsi que la précédente au célèbre Euler. Ces deux séries se trouvent démontrées d'une autre manière dans l'ouvrage de M. Lacroix. (Tom. III. p. 345 et 395.) Dans le cas particulier de yzne^, la formule (20) donnera
<ta-\- a X -ir (it h C' h ^tc.
= e^|a„ + X A«, + -:^ AV„ -h£l AX H- etc.}. (21)
En écrivant nb au lieu de x^ cette dernière équation deviendra
a ^na d -f- — a,d*4- — a,d='4-etc.=(a -|-wAa,ô-H— AX^' + etcle • ^ 2 2.3 l 1.2 J
nd
On peut maintenant placer chaque membre de cette équation comme une caractéristique devant une fonction quelconque w^; et en observant que é^^u^ =r E^u = Wjr-hn , on obtiendra ,
a M^+wa^dw^H-— œ^d*w^4-etc.=a^Wa:l-„4-wAa^â«,c-fn-f-— A*«„ô*Wx4-n+etc.
(22) d'où l'on voit qu'après avoir multiplié les divers termes de la série de Taylor^ par les quantités a^ , «^ , a^ . . . . , la somme des produits donnera
Sî THÉORIE DES CARACTÉRISTIQUES.
une nouvelle série toujours susceptible d'une expression finie, lorsque ces quantités conduisent à des différences constantes. li n'est pas difficile d'entrevoir qu'on pourrait déduire de la même formule (20) encore d'autres résultats utiles.
l4. On tire de l'équation fondamentale Ux+x =:z JE^ u^.
A'mj, = tix+x — u^z=:{ E^ — 1 ) Ux
A' indiquant la difi'érence de la fonction, relative à l'accroissement oc de la variable x.
Or, si l'on décompose la caractéristique ^*-— i , en ses deux facteurs
a oe ce
E*—-' E *, JE", il est visible que l'équation précédente pourra s'écrire ainsi
AV=C#— ^~^)z^^+î.«,
d'où l'on peut conclure sans peine, en prenant les différences successives;
et a
Ù^'ux=:{E~'-^E"Yux+:c
u ce '
A'^ Ux = {E~^— É~ ~^y ux+'-^ et généralement
ce qui s'accorde parfaitement avec l'expression obtenue par Laplace y à l'aide de son calcul des fonctions génératrices (*).
n Si l'on y fait «= 1 , et qu'on change ensuite ^-{--en x ^ la formule
que nous venons d'obtenir, se réduit immédiatement à
A"M^J=(e^— e "'fu^ (24)
Ot) Oi k' . : ,: ( ';•.•'■:■ ^ " "
' (*) ^héofie analytique des probabilités^ pag. 41.
Ce dernier résultat a été démontré séparément par Laplace {f). On voit cependant qu'il n'est qu'une transformation de la formule (23). Nous allons lui donner une autre forme , qui nous servira a prouver directement une série remarquable due à Stirling.
En observant que sin ((pV^ — 0 ^^== ~» ^^ mettant z à la place
de l'imaginaire IX — i , l'on pourra écrire
e* ■ — ' e * = — 2 2 sin — .
Si maintenant l'on change n en 2n, la formule (24) se transformera en
A^''W:r-n = ±(2sin'|)*-W^ (25)
selon que 7i sera paire ou impaire.
Considérons les deux développemens connus, (f)
cos2n.r=i-~^(2sin^)'+^^:|^(2sina;)-— ^^•j'-y^^--^(2sin^)° + etc.
sin2wa.=:wsin2^ l—-^' (2sin.y)* + "'~'''''~^(2sin^)* — etc.) ( 2.3 ' 2.3.4.5 ^ ^ )
Lorsqu'on y remplace j? par l£ , la première de ces séries fournira
le développement de la fonction caractéristique cos in d. On aura ainsi, en appliquant cette caractéristique à la fonction w^ , et ayant égard à la formule (26)
(cosmô)^.,=^^,+lA"^..,+:l:I^^AV-,+^^^
Quant à la seconde série, remarquons d'abord que le facteur siu 2a?
(*) Théorie analytique des probabilités, pag. 45.
(f ) Lackakce. Leçons sur le calcul des fonctions. 6 édit. pag. 142.
ou sin i d pouvant s'exprimer par
