SIAM

Nous sommes heureux d'apprendre que le Gouvernement Siamois a confié à M. G. Corpës le poste de «Chief Librarian of the Vajiräñana National Library», précédemment occupé par M, le Dr. O. FRANKFURTER.

PAR

—— fe —

Quand on lit les anciens livres chinois où intervient explicitement l'algèbre X JL t’ien-yuen') et où apparaît le procédé FH 1 k'ai-fang ?) pour résoudre des tableaux-équations *), on se demande quel fut au juste le rôle de ces deux méthodes dans les mathématiques chinoises: ces ouvrages en effet sont comme des recueils d'exercices où la réponse à trouver semble choisie à l'avance, et où rien n'indique quels problèmes véritables ou plus complexes étaient

traités avec ces moyens de calcul. De ce point de vue, l’étude des

1) “Les anciens livres chinois”, c’est-à-dire ceux composés avant qu’ait été redécouverte cette méthode f’ien-yuen, incomprise, on le sait, à la fin des Ming; de cette période, trois auteurs seulement nous restent, tous du 13° siècle, ZE re Li-Yé, À Hi Yang Hoei et À H f£ Tehou Che-kié qui développent leurs calculs avec cette, notation.

2) Sur ce procédé, peu étudié jusqu'ici, on peut consulter M° Mikamy: The development of Mathematics in China and Japan, p. 74 et suiv. Le mérite de l'avoir signalé revient peut-être à Wylie, Mofes on Chinese Litterature, p. 102, qui toutefois en donnerait une idée trop favorable, quand il le compare à la méthode de Horner pour résoudre les équations numériques; il y a loin de cette méthode moderne au vieux moyen de calcul chinois, tâtonnement plutôt que règle précise.

3) Le mot tableau-équation caractérise pour nous un tableau de nombres obtenu par le calculateur chinois, tableau qu'il est aisé de transposer en équation dans la notation européenne; la conception chinoise diffère pourtant, croyons-nous, de notre idée d'équation, CVoir Z'‘oung Pao, tome 15, pp. 530—5650).

écrits de % SL Æ% Kouo Cheou-king présenterait sans doute de l'intérêt, Né en 1231, et mort en 1316, cet auteur est célèbre par ses travaux astronomiques et surtout par le calendrier Fe FF FK cheou-che-li dont il établit les éléments et qui fut en usage de 1281 à 1367; vivant à l’époque où florissait l'algèbre t'ien-yuen, il dut, prévoit-on, en faire usage dans ses calculs, et cette algèbre l’amenait À employer le procédé k’ai-fang pour finir ses problèmes relatifs à des questions astronomiques, ‘problèmes qui n’ont plus rien de factice.

Faute de pouvoir recourir aux écrits de Kouo !), l'essai peut être fait de reconstituer le fond de ses idées en se servant de certains documents qui le citent ou l’interprètent; les réflexions proposées ici ne tendent qu’à ce but, la question étant restreinte d’ailleurs à

l'étude de la trigonométrie sphérique attribuée à cet auteur.

Sur ce sujet, les Annales des Yuen nous sont une première source de renseignements, la plus ancienne et la plus sûre: à propos des calendriers, elles expliquent longuement *) l'emploi du cheouche-li de Kouo, donnent les tables correspondantes, mais sont là quasi muettes sur les procédés de calcul de l'inventeur, A l’article

au contraire qui lui est consacré parmi les hommes célèbres de la

1) Ces écrits existent-ils encore? M' Mikamy (op. ci£., p. 104) exprime le regret de ne pas les connaître directement, Mention n’en est pas faite dans le Catalogue imprimé de la Bibliothèque impérioe X % DU Ji Æ 2 RH üivres 106 et 107); eat -être, comme pendant longtemps les oeuvres de Tchon Che-kié (voir M' Mikamy, op. î£., p. 90), gisent-ils oubliés dans quelque bibliothèque; je ne les ai vus signalés dans sucuné collection ha =, et les auteurs modernes qui parlent de Kouo, ne paraissent voir consulté que les documents indiqués ici. Dans leur article sur Kouo, les Annales des

Yuen (lis, 164°) donnent les titres de ses écrits,

2) JC HA. livres 52 à 57.

té ngne à | 5 > :

dynastie, aux Fi] 14, livre 164, on peut recueillir des renseignements précieux, encore que fort concis et bien obscurs, si d’autres textes ne venaient les éclairer.

Dans cette biographie, on oppose à l’ancien moyen celui dont usait Kouo pour calculer la différence des arcs d’écliptique et d’équateur compris entre deux méridiens dont l'un passe au solstice d'été: BE RE EE EU — À — JE MIX, M Æ, 4 SE 5, 7 BE GRR 5 El 1e D À, R DE À 5, MORE EU NA

Quoi qu'il en soit des opérations faites avant lui ($E #E), Kouo, afin de se procurer les trois valeurs dites JE Æ8 , fi É et Z&, employait donc une méthode indiquée ici par les caractères #1] 124 HR 1 La] À} À FT À. Un peu plus bas, dans ce passage des Annales, la même méthode (YA PS 1 Ë Æ A #1] HE *E) est signalée afin d'avoir, pour chaque position journalière du soleil, les ares de méridien compris entre l'écliptique et l'équateur ou le pôle ‘).

Bien que deux tables des valeurs obtenues par ces calculs pour chacune des divisions du quadrant, soient données, la première au livre 54e, la seconde au livre 55e, on ne voit pas, avec ces courts renseignements, comment reconstituer la méthode en question: on peut tout au plus conclure, semble-t-il, qu’elle est fondée sur la

considération de triangles rectangles (#] JP£), de flèches d’arcs (GR Æ ), de carrés ou rectangles (CF ), le tout contenu (Æ) de

1) Voici le texte complet: SEC 2 EL AJ XP JE, D£ & € À 1), A Ah #8 JE = HE L + #7, I AI & À É ZX Be a) JE à ER EH Æ Hi Si OT A] A #T Bien enten-

du, nous ne cherchons pas à préciser ici s’il s’agit du mouvement du soleil vrai ou d’un

soleil moyen,

façon inclinée ou droite (Æ} À) dans un cercle ou une sphère (#1) ). Cette première induction toutefois a son intérêt, car elle garantit en quelque sorte la valeur des explications que l’on trouve dans les écrivains postérieurs.

En dehors des Annales des Yuen, trois ouvrages ont été étudiés

sur cette question: les Annales des Ming H} 5h (livres 25, 81 et

suivants), le nr À f# Jff + (livres 67 et suivants) de }ff E 2 Hing Yun-lou ?) et dans le FRS À EE de ff 27 fl Mei Wenting ?), l'opuscule 4 4 {H] mr. Vu toutefois l'époque tardive où ont été rédigés ces livres, deux points sont à éclaircir avant de leur accorder pleine confiance: à la fin du 17e siècle, quels écrits de Kouo avait-on encore? sa pensée a-t'elle été fidèlement rendue dans les documents auxquels nous recourons ?

À dire vrai, je n'oserais pas donner une réponse ferme à la première question; certaines conclusions peuvent être seulement proposées que paraissent suggérer divers indices.

Les écrits de Kouo ne figurant pas au catalogue de la bibliothèque impériale “), c'est une forte présomption qu'ils étaient peu répandus au 17e siècle. Un fait est historiquement certain d’ailleurs ;

à cette époque l'algèbre t'ien-yuen était tombée en désuétude au

1) Disons aussi que la manière d’user de l’instrument ff] 1 pourrait peut-être aider à retrouver le calcul; il paraît avoir été introduit par Kouo (voir article biographique cité) et est décrit au livre 48° des Annales. Mais il faudrait au préalable étudier les méthodes d'observation astronomiques alors en usage, nous avons essayé dans ces notes de

suivre une autre voie,

2) 11 vécut sous le règne de Ji = Chen-Tsong (1573—1620); sur cet écrivain

voir l'ouvrage LES À {h de TR JT Yuen-Yuen, livre 31°.

3) Né en 1633, mort en 1721; on trouvera des détails sur lui dans M' Mikamy (op. cit., p. 121, 122) et dans Wylie (op. cit., p. 90) qui l'appelle Af | HE Mei Ouengan. On jugerait mal d'ailleurs, d'après ce dernier, de l’opuscule en question ici qui traite en fait de trigonométrie sphérique.

4) Voir ci-dessus,

point de n’être plus comprise, d’être même comme ignorée et de devenir un sujet d’admiration et de joie quand elle fut redécouverte !). On sait aussi que le calendrier he A Jff ta-t'ong-li, en usage sous les Ming, n’est qu’une modification du cheou-che-li *), et on retrouve dans les Annales des Ming (livre 32e) les tables déjà signalées dans celles des Yuen, avec l’aveu que le sens de certaines anciennes méthodes était perdu °); l’une de celles-ci, dite #4 FÉ , est précisément indiquée dans la biographie des Yuen comme ayant servi à Kouo.

Pour le calcul de ces tables, la mise en équation, dirait-on en terminologie européenne, devait être faite par l'algèbre t’ien-yuen, et les solutions des équations numériques obtenues, certaines du 4e degré, devaient être cherchées par le procédé £’ai-fang. Or, chose

curieuse, Mei Wen-ting explique avec emphase l’ancien moyen pour

1) Les écrivains chinois notent le moment où elle fut retrouvée; à la tin des Ming, on savait bien qu’une méthode avait eu cours qui introduisait à titre auxiliaire une baguette

à calcul, l'expression ancienne connue alors —— J’indiquait bien, mais les ; JL 71

manipulations à faire avaient été oubliées et on ne les retrouvait pas dans les livres en

circulation : M RFC, EE Æ ju ZA ÎRE F4 PA C FH] A (texte tiré de Yuen-Yuen, op. cit, liv. 30, article sur HA RE JE

Kou Ing-siang, et textes analogues dans le catalogue impérial liv. 107 passim). On trouvera quelques détails sur l'oubli et le renouveau de l'algèbre f’ien-yuen dans M' Mikamy (op. cit, p. 120 en particulier)

2) HF Fa K A Jff : EI ÉI TÉ Pa Fe FF: Annales des Ming, liv.31; plus loin dans ce livre sont comparés assez au long les éléments des deux calendriers.

3) Relevons ici un seul passage du livre 33°: on y avertit que le cheou-che-li faisait

certains calculs par les procédés dits JR fh 72) É (YA FR fx 72) É NA sf + ER) et ensuite que ces procédés ne sont pas dans les livres transmis, JU A

et autres, qne les Jff EL (guides pratiques pour les calculs da calendrier croirait-on)

les donnent bien mais sans les expliquer Gin Fr 1 JU É4 E 1 # EY # fo ff 1 EE # fo J 1 # = # HE) Ces procédés, développés

par l’algèbre Z’ien-yuen, étaient fondés sur la considération de triangles arithmétiques

analogues à ceux de Pascal et sur l'étude de piles analogues aux piles de boulets; on en

devine les éléments dans le pu T +Æ 4 de Tchou Che-kié, livre perdu, on le sait, à la fin des Ming.

trouver des racines d’une équation du 3e degré, moyen antérieur, remarque-t'il, à l'introduction des mathématiques européennes, mais il se tait sur celles de degré supérieur '). On s’expliquerait bien pareil silence en admettant qu’à cette époque on ne savait plus, comme jadis, tirer parti d’un tableau-équation de degré supérieur à 3; et dès lors il faudrait conclure que Hing Yun-lou, dans ouvrage cité plus haut, ne fait que reproduire des calculs trouvés dans les documents qu’il avait sous les yeux. Les copiait-il sur les écrits de Kouo ? Vraisemblablement non, d’après ce qui a été dit; on conjecturerait volontiers qu'il se servait de textes conservés au bureau astronomique de la Cour impériale, et telle serait peut-être la source commune auxtrois ou vrages où nous avons cherché l’explication de la méthode de Kouo *).

Mais si cette méthode ne leur a été connue qu'indirectement, peut-on se fier à ces auteurs? La réponse à cette deuxième question n’est pas douteuse ; quand on analyse la trigonométrie sphérique chinoise, on y reconnait deux éléments bien distincts, une genèse géométrique et une manière de conduire les calculs; or pour chacune

de ces parties nous atteindrons bien la pensée de l’initiateur.

1) Voir op. cit. surtout la partie appelée 2 Ff , livre 5° FH } — L’encyclopédie impériale f# HE nl 15 publiée sons Kien-Long ne traite de même que du cas du 3° degré.

2) En quoi consistait cette source commune? Les Annales des Ming (livre 81) parlent de travaux faits par Hing Yun-lon et autres, travaux ordonnés à la composition du calendrier,

travaux qui firent trouver le véritable sens du cheou-che-li et permirent de le compléter

(#4 #2 FF L. ln pa H Dé sd? ). Mei Wen-ting parle d’un ES RS HY Ft explication du cheou-che-li; cet écrit n’est pas signalé aux Annales des Yuen, parmi ceux de Kouo, et je ne sais d’après quelle autorité Wylie (op. cit, p. 100) le lui attribue; je n'ai pu me le procurer, mais d’après ce que j'en ai vu cité, il contient l’indi cation des opérations #'ai-fang à faire pour résoudre les divers problèmes. Etait-ce comme un guide pratique conservé au bureau astronomique, l’un des écrits Jff = dont parlent les Annales des Ming (voir ci-dessus)? à quelle époque et par qui ail été rédigé? je n’ai «

trouvé aucune réponse à ces questions.

Que l'on retrouve bien les anciens calculs, l’identité entre les tables données soit dans les Annales des Yuen, soit dans celles des Ming nous le garantit, et l'impuissance où l’on paraît avoir été sous les Ming, à inventer pareilles opérations nous donne toute sécurité.

Quant aux principes géométriques, bases de ces calculs, une certaine hésitation paraîtrait légitime de prime abord: à la fin du 17e siècle, la trigonométrie européenne étant connue, n'a-t'on pas mis sur le compte de Kouo certains résultats importés par les premiers missionnaires à la Cour impériale? Il y aurait lieu peut-être de se demander en effet si l’interprétation par Mei de tel point d’astronomie ancienne n’a pas été faite en fonction des nouvelles connaissances acquises; mais pour ce qui touche uniquement à la trigonométrie sphérique, pareille crainte n’est pas de mise. Mei, dans l’opuscule

cité, compare fréquemment les nouvelles méthodes, les méthodes occidentales (DE *£), aux anciennes CE #£) et plus spécialement à celles de Kouo (ÉD p. + LA LAN *E ); c’est là une première remar-

que, insuffisante d’ailleurs pour nous rassurer complètement, si nous ne trouvions chez lui une interprétation qui cadre bien avec les

, . . Zu » es di quelques détails fournis déjà par les Annales des Yuen (JA 7

D; ËÉ Æ A 4 HF + et autre texte), interprétation proposée

explicitement au sujet de cette vieille méthode '}.

Les constructions géométriques qui donnent naissance aux cal-

culs de Kouo ne laissent pas d’être ingénieuses dans leur simpli-

1) Voir surtout dans Mei op. cit. le passage intitulé LE 7 1 Ë ff E FF ‘

Il reste vrai que l'étude de la trigonométrie sphérique européenne a pu aider Meïi à reconstituer le raisonnement de Kouo; d’après l'endroit indiqué ici, il semble s'être inspiré

à la fois de trois figures que l’on retrouve dans les Annales des Ming et de la description

de l'instrument ff LÉ 2 :

cité'); elles sont fondées sur l'étude d’une pyramide sphérique quadraugulaire dont le polygone sphérique de base a pour côtés opposés d’une part un arc d’équateur et un arc d'écliptique, d'autre part deux arcs de méridiens *) dont l’un passe par le solstice d'été; Kouo supposait ce dernier arc connu.

Soit O A BCD cette pyramide, AB étant sur l'équateur, C D sur l'écliptique, C A et D B étant deux ares de méridiens, D étant le solstice d’été. Si dans les plans C O À et CO D, on mène les droites CK et CM respectivement perpendiculaires à O A et O D,

J le plan KCM détermine dans la pyramide une section rectangulaire CMNK:; c’est la considération de ce rectangle qui fournit à Kouo les relations d’où il tirera tel côté du polygône sphérique en fonction de certains autres. Abaissons en effet les perpendiculaires A P et DR sur O B; ce sont les sinus des arcs A B et D B et ces deux droites seront parallèles l’une à KN, l'autre à MN; dès lors dans le rectangle CKMN, deux côtés CK et C M sont les sinus des arcs AC et CD; quant aux deux autres MN et KN, l’un MN est proportionnel au sinus de l'arc DB et le second K N est propor-

tionnel au sinus de l’arc A B.

Kouo ne recourt pas directement aux sinus, on s’en doute bien,

1) Ces constructions sont restituées d'après Mei Wen-ting surtout; les explications des calculs données plus loin sont plutôt empruntées aux Annales des Ming et à Hiog Yun-lou.

2) Evidemment la méthode vaudra, d'une façon générale, si dans la base deux côtés opposés ont leurs plans perpendiculaires à celui de l’un des autres côtés; les figures étudiées par Mei ne correspondent qu’à un cas particulier, le seul pent-être que Kouo ait considéré, celui qu’on rencontre dans les deux problèmes signalés à la biographie des Annales des Yuen.

VRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE DE KOUO CHEOU-KING. 159

mais il évalue avant tout les flèches K A, MD, PB et RB des ares doubles, et nous retrouvons bien les éléments de la méthode signalée aux Annales des Yuen, éléments que Mei étudie dans des figures séparées !): des triangles rectangles O DR, OM N que Mei appelle 31 JE] 4j HX, D étant le solstice d'été jt Xi À æ, B le point correspondant sur l'équateur D E] 2); O'CK, plan oblique (par rapport à CKMN) À} 35. J] ; d’autres triangles OAP, OKM en position couchée sur le sol 2 Il #1] FX ; OCD), plan de l’écliptique en position inclinée par rapport à la précédente À} 2P- I FT A ; un rectangle À dont les côtés sont dans ces

quatre plans; des flèches 4. Tous les caractères du texte des Yuen deviennent clairs, et si deux seulement restent à expliquer et À, Mei semble les préciser au sens de circonférences contenant les diverses parties de la figure quand il développe la pyramide sphérique sur le plan de l’équateur *).

Comme ci-dessous, il représente ensuite séparément les deux

plans O DB et O AB, et sur ces figures nous reportons les points

A, B, PP, R ete.

1) Ces fgures, avec celle reproduite ci-dessus, ne se trouvent ni dans les Annales des Ming, ni dans Hing Yun-lou.

2) Ces triangles seraient dits droits À. dans les Annales des Yuen comme étant dans

un plan perpendiculaire à C M N K.

3) Voici la reproduction de ce développement.

Lu | 4

1ère figure (plan D O B). Figure à prendre de côté, dite 4H] Ji

Les caractères E] ZÆ (solstice d’été) sont écrits au point D,

> » Z& % (solstice d'hiver) sont écrits au point D’.

, » AU Æk (pôle nord) sont écrits au point T.

» » F Æ& (pôle sud) sont écrits au point T’,

> » DIE NES (équateur) sont écrits le long de la droite BB.

» » HT NE) (écliptique) sont écrits le long de la droite D O".

> » Z: (flèche) sont écrits le long de BR.

> » 2P 8% (la petite hypoténuse) sont écrits le long de O M.

> » »P HE (le petit plus grand côté de l’angle droit) sont écrits le long de O N.

> » D #1] (le petit plus petit côté de l'angle droit) sont écrits le long de MN.

» > “À FE + > K B% (demi-diamètre toujours pris comme la grande hypoténuse) sont écrits le long de O D.

> > EN IN 57 F3 K #1] (demi-corde de l'are comme le grand plus petit côté de l'angle droit) sont écrits le long de DR.

Les caractères Æ& Jk Æ fe F3 K JP (la différence entre le demi-

diamètre et la flèche comme le grand plus grand côté de l'angle droit) sont écrits le long de OR.

» » 2 HR À (demi-arc opposé) sont écrits le long de l'arc D B.

2° figure (plan O A B). Figure à prendre de niveau, dite 2p Ti Ex!

€ lé -

Les caractères El] æ% (point correspondant au solstice d'été) sont écrits au point B.

> » 7& 2% (point correspondant au solstice d'hiver) sont écrits au point B.

> > Æk #} (équinoxe de printemps) sont écrits au point U.

» » TK %f (équinoxe d'automne) sont écrits au point U.

» » dt #p (projection du pôle nord) sont écrits au point O.

» » Ze: (flèche) sont écrits auprès de B P.

» » DK 3 vh 5% (la petite hypoténuse sur l'équateur)

sont écrits auprès de K 0.

Les caractères 7 JA 2h #1] (le petit plus petit côté de l'angle droit sur l’équateur) sont écrits auprès de N O.

» » ji 2 gÙù 2 L F5 h JE (demi-corde sur l’écliptique, c’est le petit plus grand côté de l’angle droit) sont écrits auprès de K N.

» » Jp EF À 5% (demi-diamètre sur l’écliptique comme la grande hypoténuse) sont écrits auprès de À O.

> » DR LE EN 52 4 À JE (demi-corde sur l’équateur comme le grand plus grand côté de l’angle droit) sont écrits auprès de A P.

» » DL NES ZE HN Fe. (demi-arc opposé sur l'équateur) sont

écrits auprès de l’arc A B.

On remarque près de certaines droites de ces deux figures, les expressions 2h #1], NX, ph et Le #1] K HE, K 552 qui indiquent que ces lignes jouent le rôle de côtés homologues dans des triangles rectangles semblables, et une autre figure explique dans Mei que l’on peut, par le calcul, passer d’un triangle à l’autre !),

Cette explication de Mei Wen-ting amène à reconnaître comme irréprochable le point de départ géométrique de Kouo, si les résultats auxquels il arrive sont entachés d'erreur, et ils le sont, la cause

en est ailleurs; elle vient en réalité de sa façon d'évaluer les éléments

1) Mei fait allusion à 3 figures du #2 HY Jff : il est probable que ce sont les

trois dont nous venons de parler: Hing Yuu-lou s'en inspire constamment dans celles qu’il

fait et les Annales des Ming les reproduisent au livre 32°.

des triangles rectangles à étudier. Mei semble donc minimiser la différence entre les méthodes européenne et chinoise quand il dit seulement que la première parlait des angles tandis que la seconde ne faisait intervenir que les arcs !). Ce serait alors une différence purement extérieure, comme ne fait rien la diversité des unités choisies ?), comme n’est pas de grande conséquence l'emploi de 3 pour la valeur de JC 3), et comme peu importe que l’on considère les flèches au lieu de nos fonctions trigonométriques: la flèche d’un are 2a est 1—cosa, et un mérite de cette méthode attribuée à Kouo est précisement d'introduire pareille expression dans les calculs.

La flèche était toutefois évaluée, et là est le déficit de la trigonométrie chinoise, au moyen d’une formule qui n’était qu’approchée et n'était pas susceptible de fournir une approximation donnée; Kouo admettait “) que l’on avait la relation suivante:

2 fois le carré de la flèche arc — corde — —— ; diamètre

et s’appuyait sur elle dans ses divers problèmes. Partant de cette égalité, il pouvait, première question qui se

posait, calculer par l'algèbre t’ien-yuen *) la flèche d'un arc donné.

) M KR, m0 M 4 EU MN, HUE Et, À fi EE, on MINE AH, Hi] j Ja py “+ Eu (opuscule cité).

2) On sait que dès l’époque du ] Eu sf fe : la circonférence était divisée en 365 JÉ tou 25 4ÿ fen, chaque tou représentant 100 fen, chaque fen 100 Fÿ miao, et le soleil étant censé parcourir 1 tou en un jour. Dans les calculs de Kouo, les côtés de triangles et autres éléments sont estimés en tou.

3) On n’ignorait pas que cette valeur était inexacte, on en connaissait d’autres (on les trouvera dans M' Mikamy op. cit, chapitre 7), mais on considérait sans doute cette valeur 3 comme une approximation suflisante, et cela non sans quelque raison, vu les moyens assez primitifs d'observation.

4) Il semble sûr qu’il savait se servir d’une formule approchée seulement; voir plus bas.

5) Que Kouo ait employé l'algèbre f’ier-yuen, on ne le sait pas, seulement par la simple

induction faite au début de ces pages, on le conclut de certains passages de Hing Yun-lou,

On ne trouve au 17e siècle, que la résolution des tableaux-équations auxquels amenait cette notation; la mise en équation, dirait-on dans notre terminologie, est facile à restituer '); la voici telle qu’on la trouve dans un ouvrage moderne le vie EL fx. > au livre 9e *).

»L'arc de méridien entre l'écliptique et l’équateur étant 24 tou, trouver la flèche correspondante (celle de l’are double). Développe- ,ment: introduisons comme inconnue x la flèche; élevons au carré, »œultiplions par 2, d'où 2 x? représentant le double du carré de la »flèche; prenons le diamètre 121 tou 75 fen; en divisont par luile ,»nombre ci-dessus, nous aurons la différence arc—corde; ne faisons »pas l'opération mais considérons ce nombre comme le numérateur ,» d'une fraction dont le dénominateur est le diamètre. Par ce dénomiation, multiplions l'arc 48 tou, et du résultat retranchons l’expres-

»Sion tronvée plus haut; la différence sera la corde (multipliée par

»le diamètre), et s’écrira »D844 — 9 x°.

»Elevons au carré, d’où

»Le carré de la corde est une fraction dont cette expression serait ,le numérateur, le dénominateur étant le carré du diamètre; la valeur trouvée est donc le produit du carré du diamètre par le carré de la

»Corde; ce nombre est à écrire gauche.

cherchant par exemple la flèche de l’are de 1 tou, celui-ci finit en disant: x *K fl}

vs j — . 5, L SR TZ — = ris RE UT ZA, PU HE HE JFÉ 20 PF 6h à X 7C 4h; et cela confirme l'opinion des rédacteurs du catalogue impérial citée dans une note précédente: les textes que l’on possédait portaient la mention Nr 4 p TÉ ——, mais

les manipulations à faire ensuite manquaient.

1) Cette restitution a été faite pour la première fois peut-être par 2 at Li Joei

à la fin du 18° siècle dans l'écrit HN Æ& F$. fù pal FL mais il ne prend pas

comme unité le tou dans ses opérations (sur cet auteur, voir Wylie, op. cit. p. 100 et 101).

2) Livre écrit au 19° siècle par HE Pas] à Kou Kouan-koang.

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