CHAPITRE TROISIÈME
Équations générales de Téquilibre des fluides gazeux.
1 . Considérons un point x, y, z pris dans une masse gazeuse en équilibre. Il fait partie d'une couche d'égale densité dont la densité sera désignée par p.
Concevons un très petit parallélipipède rectangle contenant le point x, y, z, ayant pour hauteur l'épaisseur de la couche et pour bases deux rectangles situés sur les deux surfaces qui la limitent; ses faces latérales sont sollici tées par des forces moléculaires et extérieures qui doivent se détruire, car autour du parallélipipède, dans la direction du plus tangent à la couche d'égale densité, la densité est partout la même. Il n'en est pas de même des deux bases, si Ton admet qu'un milieu gazeux dont la densité est égale à f exerce sur l'unité de surface réelle ou hypothétique qui s'oppose à la dilatation une action représentée par une expression de la forme il p| — A p, A et B désignent des constantes et A une constante très petite par rapport à C; l'action de l'élément gazeux sur l'une des bases • sera
{Af ï — Bf)^ l'action sur la base <* opposée à la précédente sera
/ désignant l'épaisseur de la couche et \ yu, * les angles que forme avec les axes la normale à la surface d'égale densité.
n .. . * dp df
On sait aussi que -j- cmx + -- cosf*-^ - co8f= V dx dy dz
La masse gazeuse étant supposée en équilibre, Téquilibre ne sera pas troublé, si nous supposons liés d*une manière invariable tous les points matériels du parallélipipède élémentaire que nous considérons ; les deui actions que nous venons de formuler, seront alors de sens contraires et leur résultat sera égal à
Mais U est le volume de Télément de la masse gamse, lequ< donc alors
zeuse, lequel est aussi représenté par — ; nous aurons
\3m If
2. Il existe une autre action dont nous devons aussi tenir compte; c*est celle qui provient de la courbure de la couche d^égale densité dont notre parallélipipède fait partie.
Dans le numéro précédent nous avons supposé dans nos calculs les points régulièrement placés sur les plans tangents aux surfaces d'égale densité qui passent par les différents points matériels du parallélipipède élémentaire; mais nous avons vu que plusieurs points placés régulièrement sur une circonférence ou sur un cylindre peuvent, en vertu de la courbure de la ligne ou de la surface, exercer les uns sur les autres des actions mutuelles qui tendent à les rapprocher ou à les écarter du centre ou de Taxe.
Pour indiquer comment on pourra parvenir à tenir compte de cette action, nous rappellerons qu*il existe sur toute surface deux systèmes de lignes de courbure qui se coupent à angles droits. Menons ces deux lignes par le point M, (x, y z)y et concevons deux cylindres circulaires osculateurs ayant pour rayons les rayons de courbure principaux de la surface au point Jf .
Cherchons d*abord comment ces deux cylindres doivent se couper dans le voisinage de ce point; prenons pour plan des (a?, y), comme cela est indiqué dans la figure 2, le plan tangent à la surface du point M et pour axes rectangulaires des x et des y les tangentes aux deux lignes principales de courbure de la surface d*égale densité du point M; les deux cylindres seront tangents au plan des (x, y) Fun suivant Taxe des x et Tautre suivant Taxe des y ; les axes de ces deux cylindres sont parallèles aux axes des x et des y et rencontrent Taxe des z aux points A et B, nous aurons alors
MA^R, eiMB = R,
L'équation de la surface du cylindre parallèle à Taxe des X sera
y^ + 2/^^iR^Z^O
L*équation de la surface du cylindre parallèle à Taxe des y sera
La projection de Tintersection de ces deux surfaces cylindriques sur le plan des a;, y a pour équation
G*est une courbe qui passe par .rorigine et le coefficient angulaire de sa tangente à Torigine a pour valeur — V ^ » ^^^ ^^^^ droites peuvent être regardées
comme les traces de deux plans passant par Taxe des ir, et ces plans déterminent sur les deux cylindres quatre sortes de fuseaux cylindriques ; nous admettrons alors qu*on peut remplacer Faction due à la surface dans les environs du point M par les actions des parties de ces quatre fuseaux voisines du même point. Dans ce qui précède nous avons supposé les deux cylindres d*un même côté du plan tangent; sUls étaient placés de part et d*autre de ce plan, leur intersection serait imaginaire et les mêmes plans
détermineront encore sur les deux cylindres quatre fuseaux dont les parties voisines du point M feraient subir à ce dernier point une action semblable à celle qu'il éprouve de la part de la courbure de la surface d*éga1e densité à laquelle le point Jf appartient.
Les portions de fuseaux cylindriques dont nous venons de parler pourront toi:gours se construire géométriquement , quand les rayons des deux cylindres seront donnés.
Pour étudier Faction de ces fuseaux sur le point M nous concevrons successivement sur ces deux cylindres des portions de génératrices parallèles et équidistantes, formant une série de rectangles, dont les plans sont parallèles et sur chaque cylindre les points matériels formeront des petits carrés égaux.
La figure 3 représente les projections des moitiés de deux fuseaux situés sur un cylindre.
L*axe du cylindre est perpendiculaire sur le plan vertical et situé dans le plan horizontal, la droite d*intersection des deux plans qui déterminent le double fuseau est perpendiculaire sur le plan borixontal et sa trace horizontale est en m.
Considérons la portion de Tune des génératrices du cylindre dont les projections sont ab, a' .
Désignons parti le nombre des molécules situées sur cette portion de droite et par r leur distance commune; nous aurons ab=nr ; par le point (m, m') menons une perpendiculaire (mt\ m'a') sur {ab, a'); désignons par c sa longueur qui est égale km' a'; nous supposerons que le pied (t, a') de cette perpendiculaire tombe sur un des points matériels de cette droite, ce qui revient à supposer n impair.
Posons alors n=2i\r+i et Taction totale de la droite (oft, a') sur le point m, m' sera
Supposons que Tare a' m' soit égal à AT, c*est à dire, qu'il y ait hf molécules sur l'arc circulaire du cylindre qui se projette en afm'.
La composante normale de la force F que nous venons de formulerlserafalors égale à
A| désignant le rayon du cylindre Or c = 2B,«»g^
Il existe en outre entre j:' et iV une relation que nous allons établir.
En e£Fet d*après ce que nous venons de dire, relativement à rintersection des deux cylindres au point Jf , on a
mf
nous avons donc
*.=2\/^* mais 06 = (2 iV+l)r,mî« A «tn^ 1% ▼ ifs ni
o6(2jy + l)r yg
Comme on ne considère que la portion de surface
cylindrique voisine du point (m, m'), on pourra rem-
Vr k'r placer sm -ô- par -^ ce qui donne
2JV+1
égalité dans laquelle N et K' ne doivent recevoir que des valeurs entières approchées à une unité près.
Après avoir remplacé c par sa valeur dans la composante normale, on obtient
I D » • k'r o „ . . , k'r'^îii»^, / . -k'r , k» r«\{
Il suffit de faire le double de la somme de termes tels que le précédent, eo donnant à A^ les valeurs t, 2, 3, jusqu*à un nombre N suffisamment grand pour avoir Taction normale exercée sur le point (m, m') par la courbure du fuseau cylindrique; nous pensons que pour ce genre d*action il suffit de tenir compte des actions des points voisins du point Jlf sur la surface d'égale densité; ce qui revient à dire ^uUI n*est pas nécessaire de prendre un grand nombre de termes dans la série précédente, et cela est facile à admettre dans une masse comparable à celle de Tatmosphëre ; nous pourrons alors sans erreur sensible remplacer les sinus par les arcs et nous aurons
Comme r est inversement proportionnel à la racine cubique de la densité, Texprossion précédente pourra s*écrire ainsi.
Ri C el D désignant des grandeurs qui dépendent de
Touverture du fuseau, c'est-à-dire, du rapport y ^,
En e£Fet entre les limites iV^et N' de cette expression il existe la relation
' Ri
Si le rapport -^ varie entre des limites très rappro* «1
cbées, comme cela a lieu pour des surfaces voisines de
la sphère, on pourra dire que dans une couche d*ëgale
densité Faction' due à la courbure de Tun des fuseaux
varie en raison inverse du rayon du cylindre dont le
fuseau fait partie.
L^action de l'autre fuseau cylindrique sur le point
(m, m') serait de même de la forme suivante
Les points de Téléroent dm sont au nombre de --^
maispf^ est une constante, puisque la densité varie en raison inverse de r^, nous pouvons doue dire que tous les points de Télément dm sont au nombre de x dm, A désignant une constante.
Si on suppose l'élément solidifié, Véquilibre ne sera pas troublé ; toutes les actions précédentes s^ajouteront algébriquement, ce que Ton exprimera en supposant les deux rayons de même signe, s'ils sont dirigés dans même sens, et de signes contraires, s'ils sont dirigés en sens contraires.
Gela donnera pour le parallélipipède une expression de la forme
La constante ^ peut être regardée comme étant portée sur les quantités C, H.DeiL et alors l'expression précédente devient
Désignons par a, m, ,, les angles que forme avec les axes la normale à la surface d*égale densité au point X, y, z ci par X, F, Z les composantes rapportées à lunité de masse des forces extérieures qui agissent sur rélément dm et nous aurons.
Si pour abréger on désigne par P la quantité entre grandes parenthèses, on a de même
Y^Pco$ij, Z = PcoSf
et P=v/J&+ri+Z*
