CHAPITRE SECOND
Actions mutuelles de plusieurs points matériels égaux placés régulièrement sur un cylindre circulaire droit indéfini.
Concevons plusieurs droites placées régulièrement sur un cylindre droit indéfini, et sur ces droites sup* posons un nombre infini de points matériels équidistants.
Ces droites, qui sont des génératrices de cylindre, sont disposées de telle sorte que Tes points matériels forment entre eux des petits carrés égaux.
Prenons un point matériel à volonté sur une de ces droites, et cherchons à formuler les actions de toutes les autres droites sur ce point.
Pour cela je mène par ce point un plan perpendiculaire aux génératrices; il coupe le cylindre suivant une circonférence sur laquelle des molécules matérielles se trouvent placées régulièrement. Supposons que la distance des deux molécules consécutives prises sur cette circonférence soit égale à la distance de deux molécules consécutives prises sur une des droites; cela revient à dire que les côtés de petits carrés formés par les molécules sont dirigés les uns suivant les génératrices, les autres perpendiculairemenf à ces mêmes droites.
Un autre cas peut se présenter, c'est-à-dire, que le^^ côtés des carrés dont les molécules occupent les sommets peuvent former des angles de 45* avec les génératrices du cylindre, mais ces deni cas se traitent de la môme manière et conduisen t aux mêmes conséquences. Nous eiaminerons donc seulement le premier cas. Ce cas peut se subdiviser en deux, selon que le nombre des génératrices sur lesquelles il y a des molécules est pair ou impair; les résultats étant les mêmes dans ces deux cas secondaifes» nous nous occuperons seulement du cas oii le nombre des droites est impair et égal à 2n+i.
La circonférence d'intersection dont nous venons de parler renferme alors 2ii+l points matériels ; ces points sont désignés dans la figure 1 par les lettres 1^ S, C, D, E, F, G. /i. /,
Supposons que le point il soit le point attiré; posons AB = r ÀO— B, nous aurons^ d'abord
^fi+l
L'action de la génératrice du cylindre qui passe par le point B et qui est perpendiculaire sur le plan de la tVuille de dessin peut se décomposer en deux» une composante langentieHe dirigée suivant AT et une composante normale dirigée suivant Aq,
La composanle normale a pour expression
Remplaçons r par sa valeur et nous aurons f
ilPsitt '^
Cherchons de la même manière la composante normale de la génératrice de rang A^ et concevons que cette génératrice soit celle dont la trace est en D sur le cercle dUnterseclion ; posons AD = f et nous aurons
f = 2flm
in + i
La composante normale de Taction de cette génératrice sur le point A a pour expression
-iafr'S 1 -,(«•« JL^
Remplaçons r et f par leurs valeurs et nous aurons f\ i ^^.^ ""Sn+t
8«»*âr^ * « «»î *l:!L+ft«ri««
Pour avoir la somme des composantes normales de toutes les génératrices, il sufiQl de donner à hf dans cette formule les valeurs 1, 2, 3... (n— 1), n. et de faire le double de la somme ; ce qui donne
ik"7r
On peut remarquer que ce résullal est de la forme
AeiB désignant deux nombres qui dépendent du nombre des génératrices du cylindre sur lesquelles il y a des molécules.
Dans tous les cas que nous venons d*énumérer on obtient un résultat de même forme.
La force normale qui sollicite chaque point sera nulle, si Ton a
Si R est plus grand que -^ , toutes les molécules
tendent à se rapprocher de Taxe en vertu de leurs
actions mutuelles, et si Jl est inférieur à -^ toutes les
molécules tendent à s^écarter de Taxe du cylindre, eu
vertu de leurs actions mutuelles.
su
