ABCDE
L'équilibre aura lieu lorsque Ton aura
AB = DE et BC^CD
et qu*il existera entre AB eiBC une relation que nous allons chercher à déterminer. Posons ilfi = r et BC = Ar; d*après les conditions précédentes, le point C sera toujours en équilibre; il suffit donc d'exprimer que chacun des deux points AelB est en équilibre sous Faction des quatre autres , ce qui conduit aux deux équations suivantes :
VH
Après a?oir divisé ces deux égalités membre à memb|;e et remplacé >" par a; — 1, on obtient Téquation
Z07'2a? — i63Mafi — 37504a?7 — 50368ic» — A'2656(xfl — 22304a:* + 6328a:3 440^5» — 226x + 45 r= 0
Cette équation a une racine positive comprise entre 1,9 et 2, d*où il résulte que ^ est compris entre 0,9 et 1 ; nous pouvons donc remarquer encore ici que les distances des points extrêmes diffèrent peu des distances des points intermédiaires.
8. Ce qui précède suf&t pour faire voir que plus le nombre des points matériels placés en ligne droite sera grand et plus ils approcheront d*étre équidistants, lorsqu'ils seront en équilibre sous leurs actions mutuelles.
Alors si on considère le cas de l'équilibre d'un nombre infini de points matériels égaux placés en ligne droite, on comprend immédiatement qu'une portion quelconque de cette droite, ayant de part et d'autre un nombre infini de points, ne doit renfermer que des points équidistants; prenons un point à volonté sur cette droite*; de chaque côté de ce point se trouve un nombre infini de points matériels égaux et équidistants.
Désignons par P la somme des actions que le point éprouve de la part de tous les points matériels situés d*un même côté; chaque action élémentaire est rapportée à l'unité de masse; nous aurons
Pour une certaine Taleur de r cette somme d'action sera nulle, et nous aurons alors
Si f a une valeur plus grande que la précédente, les molécules auront une tendance à se rapprocher, et si r a une valeur plus petite, elles auront une tendance à s*écarter. Voici comment il faut concevoir cette tendance :
Supposons que Ton anéantisse subitement toutes les molécules situées d*un même côté du point matériel que nous avons pris et que Ton fixe tous les autres; alors ce dernier se rapprochera on s*écartera de ces derniers, selon que r sera supérieur ou inférieur à la valeur précédente, parce que la somme des actions deviendra dans le premier cas une attraction, et dans le second une répulsion.
9. Désignons par ^% et 2, les valeurs des deux séries précédentes
Si on conserrait cette forme à ces deux séries, il faudrait prendre un très grand nombre de termes pour en
calculer la valeur, car elles sont fort peu couver* génies; cherchons à leur dcmner une forme qui les rende nioins longues à calculer. Je mets alors ^i sous la forme suivante :
+ 3I + P+TÎ + 9I -+-
ou bien
ce qui donne
Les dénominateurs du second nombre ne renferment plus le facteur premier 2.
On a de même
ou bien
ce qui donne 2*— i 3*— 1
Les dénominateurs du second membre ne renlérment plus les facteur» premiers 2 et 3.
En continuant de la sorte, on trouveialt successivement
3* 5* V * ' il» i i- JL
ce qui donne
y 3» 5* 7* ii» 13* n« ^«~ 2»— 1'3»— i "5*— 1 1»— 1 ■ «»— H3^ H7»— 1
c'est-à-dire que x, est la limite du produit d'une infinité de fractions ayant pour numérateurs les carrés des nombres premiers successifs à partir de 2, et pour dénominateurs ces mômes carrés diminués d'une unité.
On trouverait de la même manière
^2^ ^ 5» 7» H» 13» 17» ^1 2»i 3J i 53— 17»— 111»— 113»— I'ÎtCT
Après avoir traité les formules précédentes par le calcul, j'ai obtenu
log. z, «s 0,216138472 z, ^ 1 ,64489
log. Zi = 0,0799262 Z| = 1,20216
log. 2. = 0,0344572 z, <«. 1,062573
comme
r^af^
ïl ^ T «.«..-« 2.
j'ai calculé
log, jj = ï,8637878 ^| = 0,730782
Les calculs précédents ont été faits sur des séries très peu convergentes , ce qui nous empêche de répondre de Texactilude des deux ou trois derniers chiffres; mais il n*est pas nécessaire d*avoir une aussi grande précision pour les conséquences que nous cherchons à déduire de tout ce qui précède.
Comme on le sait d'après le n« 2, « est la distance qui convient à Téquilibre de deux points, et lorsque le nombre des points devient infini, la distance moléculaire qui convient à des sommes d'action nulles de part et d'autre de chaque point , est supérieure aux 0. 7 de sa valeur dans le cas de deux points.
10. Cherchons à présent les conditions d'équilibre d'un certain nombre de points matériels égaux placés régulièrement sur une circonférence.
Plusieurs points, placés régulièrement sur une circonférence , déterminent un polygone régulier, lorsqu'on les joint deux à deux par des lignes droites.
Considérons d'abord trois points matériels A,B,C, formant un triangle équilatéral (Qg. 1); décomposons chacune des forces qui sollicitent chaque point en
deux autres, une composaDtetangenlielle et une composante normale. Les deux composantes tangent idles relatives à chaque point étant égales et de sens contraires, se détruisent; les deux composantes normales correspondantes s'iyoutent , parce qu*elles sont ^ales et de même sens.
Désignons par r la longueur du côté AB du triangle équilatéral, et par Jl le rayon AO, nous avons
Chacune des composantes tangenlielles a une valeur représentée par Texpression
Les deux composantes normales correspondantes forment une somme égale à
rv/3(>-p)
Les composantes tangentielles et normales deviennent nulles en même temps pour r = «, c*est-à*dire que les distances mutuelles des trois points sont alors égales à la distance qui convient à T^ilibre de deux points; le rayon du cercle circonscrit au triangle équilatéral est alors
Si les trois points forment un triangle équilatéral dont le côté est plus grand ou plus petit que le précédent, les trois points tendent à se rapprocher ou à s*écarter du centre.
11. Considérons quatre points A,B,C,D, placés ré* gulièrement sur une circonférence; décomposons chacune des forces qui sollicitent le point A en deux autres, une composante tangentielle et une composante normale*
Désignons par r le côté du carré ABCD (flg. 3), et par A le rayon du cercle circonscrit, nous aurons
r=iH/2
Les deux composantes tangentielles provenant de B et de C sont égales et de sens contraire ; elles ont chacune pour valeur
elles deviennent encore nulles par r = «.
L'expression de chaque composante normale provenant do fi et C est la même que la précédente.
L'action de /> sur le point A est une action normale qui a pour valeur
Ces trois composantes normales agissant dans le même sens ont une résultante égale à leur somme
Cette somme devient nulle pour
Celte valear de r est plus petite que «•
Pour des valeurs de r supérieures ou inférieures à la précédente « les points tendent à se rapprocher ou à s^écarter du centre.
Dans le cas de Téquilibre, le rayon B du oerde circonscrit est égal à
13. Considérons maintenant un nombre quelconque de points matériels égaux placés r^ulièrement sur une circonférence.
Nous distinguerons deux cas; premièrement le nombre des points est impair ; nous le représenterons par2n + 1.
Désignons par r le côté AB (flg. 3) du polygone régulier, et par A le rayon du cercle circonscrit. AB ou r est la dislance de deux points matériels consécutifs; Tangle AOB sera égal à
;; — —. etnousauronsf s2 Amh^ — —7
Décomposons Taclion de chaque point matériel sur le point A en deux : Tune tangenlielle et Tautre normale. Le point A étant mis de côté, il nous restera 2n points, que nous partagerons en deux groupes composés de n points, situés les uns à droite du diamètre ilXel les autres à gauche.
La composante tangenlielle de i? a pour expression
f()i-^)ccBAT;
in + i '"•~"'"'-'^2« + i La composante taugentielle de B a donc pour valeur
eot
Sn + i
trn
La composante taogealielle de C est
'(iiC AC) Mais i4C= 2 il «in 5-?-^ et «M Cil r=«w; **
'îw + l" "'""^211+4
Cette composante a donc pour valeur
On trouverait de b même manière que les composantes tangentieUes des autres points situés du même côté de ilX sont
\co$
2ij««(-i^))«W-±!L.\
CM
in + i
Pour abréger, posons
-ië^) -fe) zSM, .'"(«^)
(iïTî)
"«^?7T1 «-ÎÏTÎ «^tVrt
Sfi^t fiTR ifitl Siitl
Dans ces deux sommes E désigne un nombre entier qui varie depuis 1 jusqu*à n.
La somme des composantes tangentielles des n points, situés à gauche de AX, aura donc pour expression
Cette somme devient nulle lorsque Ton a
